5.1.1 二叉搜索树

5.1.1 二叉搜索树

二叉树是指任何节点最多只有两个子节点；而二叉搜索树（也称二叉查找树）的规则如下：

• 对数时间的元素插入和访问；(O(h) == O(lgn))
• 任何节点的键值一定大于其左子树中的每一个节点的键值，一定小于其右子树节点的键值。

根据上面的定义，判断下图中的树哪个不是二叉搜索树：

左边的是，右边的不是；因为根节点的键值6小于左子树中其中一个节点的键值7。请记住：从根节点一直往左（右）走，直到无左（右）路可走，即得最小（大）元素。如下图所示：

5.1.2 操作

二叉搜索树的常用操作有：查找最小/大元素，插入及删除元素。下面给出具体的操作步骤。注意：这里以int型数据作为研究对象，当然可以写成模板，这里一切从简，以聚焦于算法的原理。树中存放节点数据的结构体如下：

struct Node{    int key;              // 以int型数据为例    Node *Left, *Right;   // 指向左右子节点的指针};

每个节点的数据结构包含一个int型键值，两个分别指向左、右子节点的节点指针，当不存在左（或右）子节点时，Left（或Right）为NULL。

5.1.2.1 查找最小节点

要在一颗二叉搜索树中查找最大值或最小值，一直往右或往左走即可。这里只给出查找最小节点的程序，查找最大节点类似，下面代码中的Left换成Right即可；注意边界条件的判断也相当重要，尤其在面试时，不可忘记！！！

// 递归实现Node* findMin(Node* T){    // 边界条件判断    if(T == NULL)        return NULL;    else if(T->Left == NULL)        return T;    else        return findMin(T->Left);}// 非递归实现Node* findMin(Node* T){    if(T == NULL)        return NULL;    while(T->Left != NULL)    {        T = T->Left;    }    return T;}

这里找到了最小的节点(Node* node)，那么结构体中的数据轻而易得(node->key)！

5.1.2.2 插入

插入新元素到二叉搜索树中的规则很简单：从根节点开始，遇到键值大的（即新元素的值<节点的键值）往左走，遇到键值小的往右走。

// 递归实现Node* insert(Node* T, int x){    if(!T)// T == NULL    {// 空树->构造一个节点        T = malloc(sizeof(Node));        if(T){            T->key = x;            T->Left = NULL;            T->Right = NULL;            return T;        }else{            //FetalError("Out of space!");        }    }    if(x < T->key)      // 向左走        insert(T->Left, x);    else if(x > T->key) // 向右走        insert(T->Right, x);    return T;  }// 非递归实现Node* insert(Node* T, int x){    if(!T)// T == NULL    {// 空树->构造一个节点        T = malloc(sizeof(Node));        if(T){            T->key = x;            T->Left = NULL;            T->Right = NULL;            return T;        }else{            //FetalError("Out of space!");        }    }    while(x != T->key)    {        if(x < T->key)            T = T->Left;        else            T = T->Right;        if(!T){// 判断是否到达尾端            T = malloc(sizeof(Node));            T->key = x;            T->Left = T->Right = NULL;            break;        }    }    return T;}

5.1.2.3 删除

图5-6是二叉搜索树的元素移除操作图解。欲删除旧节点A，有两种情况：

• 情形1：节点A（当前根节点）只有一个子节点。即要么有左子节点，要么有子节点；那么，仅需把该子节点连至A节点的父节点，而后再删除节点A；
• 情形2：节点A（当前根节点）有两个子节点。根据二叉搜索树的性质，左子树所有节点的键值 < 根节点的键值 < 右子树所有节点的键值；那么，欲删除旧节点A，需找到右子树中的最小元素节点（使用findMin函数），而后更新旧节点A的键值（不需要更新指向左子节点的指针），最后递归调用delete函数删除右子树的最小元素的节点并更新旧节点A的右子树的根节点（A->Right）。

程序如下：

// 《数据结构和算法分析——C语言描述》，该方法永远返回根节点Node* Delete(Node* T, int x){    Node* tmpNode;    // 依然是边界条件判断    if(!T)        return NULL;    else{// 先找到要删除元素的节点        if(x < T->key)            T->Left = delete(T->Left, x);        else if(x > T->key)            T->Right = delete(T->Right, x);        else{// 找到,要删除的节点为T            if(T->Left && T->Right){// 2个孩子                tmpNode = findMin(T->Right);// 复制一份                T->key = tmpNode->key;                T->Right = Delete(T->Right, T->key);            }else{ // 0或1个孩子                tmpNode = T; // 复制一份                if(!T->Left)                    T = T->Right;                else if(!T->Right)                    T = T->Left;                free(tmpNode);            }        }    }    return T;}