zoj2770（差分约束）火烧连营

差分约束详细解释见电子书

例 4.13 火烧连营(Burn the Linked Camp)

题目来源：
ZOJ Monthly, October 2006, ZOJ2770
题目描述：
大家都知道，三国时期，蜀国刘备被吴国大都督陆逊打败了。刘备失败的原因是刘备的错误
决策。他把军队分成几十个大营，每个大营驻扎一队部队，又用树木编成栅栏，把大营连成一片，
称为连营。
让我们回到那个时代。陆逊派了很多密探，获得了他的敌人－刘备军队的信息。通过密探，
他知道刘备的军队已经分成几十个大营， 这些大营连成一片（一字排开）， 这些大营从左到右用 1…
n 编号。第 i个大营最多能容纳 Ci个士兵。而且通过观察刘备军队的动静，陆逊可以估计到从第 i

个大营到第 j 个大营至少有多少士兵。最后，陆逊必须估计出刘备最少有多少士兵，这样他才知

道要派多少士兵去烧刘备的大营。
输入描述：
输入文件中有多个测试数据。每个测试数据的第一行，有两个整数 n(0<n≤1000)和m(0≤m
≤10000)。第二行，有n 个整数 C1…Cn。接下来有m 行，每行有 3个整数 i, j, k(0<i≤j≤n, 0≤
k<231)，表示从第i 个大营到第 j个大营至少有 k 个士兵。
输出描述：
对每个测试数据，输出一个整数，占一行，为陆逊估计出刘备军队至少有多少士兵。然而，
陆逊的估计可能不是很精确，如果不能很精确地估计出来，输出"Bad Estimations"。
样例输入： 样例输出：
3 2
1000 2000 1000
1 2 1100
2 3 1300
3 1
100 200 300
2 3 600
1300
Bad Estimations
分析：
以样例输入中第 1 个测试数据为例解释差分约束系统的构造及求解。其数学模型为：设3 个
军营的人数分别为 A1、 A2、 A3，容量为C1、 C2、C3，前 n个军营的总人数为 Sn，则有以下不
等式组：
1) 根据第 i个大营到第 j 个大营士兵总数至少有k 个，得不等式组(1)：
S2 – S0 >= 1100，等价于：S0 – S2 <= -1100
S3 – S1 >= 1300，等价于： S1 – S3 <= -1300
2) 又根据实际情况，第 i 个大营到第 j 个大营的士兵总数不超过这些兵营容量之和，设d[i]为
前 i 个大营容量总和，得不等式组(2)：
S2 – S0 <= d[2] – d[0] = 3000
S3 – S1 <= d[3] – d[1] = 3000
3) 每个兵营实际人数不超过容量，得不等式组(3)：
A1 <= 1000，等价于： S1 – S0 <= 1000
A2 <= 2000，等价于： S2 – S1 <= 2000
A3 <= 1000，等价于： S3 – S2 <= 1000
4) 另外由 Ai>=0，又得到不等式组(4)：
S0 – S1 <= 0
S1 – S2 <= 0
S2 – S3 <= 0
本题要求的是 A1 + A2 + A3的最小值，即 S3 – S0 的最小值。
有向网的构造：首先每个 Si 对应到有向网中的一个顶点Vi；然后对上述 4个不等式组中的每
一个不等式： Si – Sj <= c，转化成从Sj 到 Si的一条有向边，权值为 c。由不等式组(1)和(2)可知，
存在<Sj, Si-1>和<Si-1, Sj>双向边，只是权值不一样；由不等式组(3)和(4)可知，存在<Si, Si+1>
和<Si+1, Si>双向边，只是权值不一样。构造好的有向网如图4.29 所示。 

构造好网络之后，最终要求什么？要求的是S3 – S0 的最小值，即要求不等式：
S3 – S0 >= M
中的约束 M，并且M 取其最大值，转化成：
S0 – S3 <= -M
即求 S3 到S0 的最短路径（最小值），长度为-M，求得-M为-1300，即M 为 1300（M的最大值）。
对样例输入中的第 2 个测试数据，对应差分系统中的不等式及构造的有向网如图4.30 所示。
为什么这个测试数据的输出为"Bad Estimations"？在Bellman-Ford 算法中，执行完本身的2
重循环之后，还应该检查每条边<u,v>，判断一下：加入这条边是否会使得顶点v 的最短路径值再
缩短，即判断： dist[u] + w(u,v) < dist[v]是否成立，如果成立，则说明存在从源点可达的负权值回
路。这时应该输出"Bad Estimations"。

//差分约束,又特么的数学建模//这个建模很经典啊，这个建模有点麻烦啊//最后建模后，一个推导成了n到0的最短路径//spfa+slf优化#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<queue>using namespace std;const int mn=2000,mm=42000;//mm开小了，re了我半天 struct Edge{    int to,w,next;} edges[mm];int head[mn],tot,n,m;long long dis[mn];long long sum[mn];void add(int u,int v,long long w){    edges[tot].w=w;    edges[tot].to=v;    edges[tot].next=head[u];    head[u]=tot++;}int cnt[mn];//记录进队列的次数bool inq[mn];//标志是否在队列中deque<int> q;bool spfa(){    //计算n的单源点最短路    memset(cnt,0,sizeof(cnt));    memset(dis,6,sizeof(dis));    memset(inq,false,sizeof(inq));    dis[n]=0,cnt[n]=inq[n]=true;    q.clear();    q.push_back(n);    while(q.size())    {        int x=q.front();        q.pop_front();        inq[x]=false;        for(int i=head[x]; ~i; i=edges[i].next)        {            int v=edges[i].to;            if(dis[v]>dis[x]+edges[i].w)            {                dis[v]=dis[x]+edges[i].w;                if(!inq[v])                {                    if(++cnt[v]==n) return false;                    inq[v]=true;                    if(q.size()&&dis[v]<dis[q.front()])                        q.push_front(v);                    else                        q.push_back(v);                }            }        }    }    return true;}int main(){    int u,v,w;    while(~scanf("%d%d",&n,&m))    {        tot=0;        memset(head,-1,sizeof(head));        for(int i=1; i<=n; ++i)        {            scanf("%d",&u);            sum[i]=sum[i-1]+u;            add(i-1,i,u);            add(i,i-1,0);        }        for(int i=1; i<=m; ++i)        {            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);            add(v,u-1,-w);            add(u-1,v,sum[v]-sum[u-1]);        }        if(spfa()) printf("%lld\n",-dis[0]);        else puts("Bad Estimations");    }    return 0;}