概率学习（1）

1. 甲乙两个人比试射箭，两人射术水平一样。如果甲射了101次，乙射了100次。求甲射中次数比乙射中次数多的概率？

A 1/4   B1/2   C 3/4   D 1/3

分析：这道题出的不严谨，应该再加一句：二人射中的概率均为0.5

然后前一百次可以分为三种情况：甲多、乙多、一样多；因为水平一样，所以甲多、乙多的概率相等；

因为射中概率为0.5，所以前一百次一样多并且最后一次甲射中的概率就是前一百次一样多的概率/2；

最后甲多的概率=前一百次甲多的概率 + 前一百次一样多并且最后一次甲射中的概率 =前一百次（甲多+乙多）的概率/2 + 前一百次一样多的概率/2 =前一百次（甲多+乙多+一样多）的概率/2=1/2

 

这道题我用的排除法做的：(1)如果甲乙都射100次，因为水平相同，因此两人胜平负的概率相当，均为1/3；(2)甲比乙多射一次，因此甲胜的概率大于1/3；(3)甲第101次一定射中的情况下，前一百次的平局就会转化成胜局，胜局不变，输局无影响，此时甲胜的概率为2/3；(4)甲第101次不一定射中，因此甲胜的概率一定小于2/3；(5)综上可知，甲胜的概率在1/3~2/3之间，选择B。但是我不知道具体的概率怎么算，还是根本就不能算。

 

关键在最后一箭，若对于每一箭甲的命中概率为P，则答案为P。

 

2. 关系运算包括选择、投影、连接以及除法。

集合运算是二目运算，包括并、差、交、广义笛卡尔积四种运算。

 

3.平均要取多少个(0,1)中的随机数才能让和超过1.

A、100     B、10^6    C、10^10   D、e

分析：简单粗暴：数学中公式：n 个随机数之和不超过 1 的概率就是 1/n! ，反过来 n个数之和大于 1 的概率就是 1 - 1/n! ，，因此加到第 n 个数才刚好超过 1 的概率就是累加求和： ∑(n=2..∞) n * (n-1)/n! = ∑(n=1..∞) n/n! = e

任取n个0到1之间的实数，这些数之和小于1的概率： 

(1) n=1，p1 = 1 = 1/1! 
(2) n=2，p2 = 1/2 = 1/2! 二维空间中x+y<1的几何分布模型 
(3) n=3，p3 = 1/6 = 1/3! 三维空间中x+y+z<1在单位立方体中截得三棱锥的体积  ∫(0..1) (x^2)*1/2 dx = 1/6 
(4) n=4，p4 = 1/24 = 1/4!  四维空间中单位立方体一角的“体积”，其“底面”为一个体积为1/6的三维体 

 ∫(0..1) (x^3)*1/6 dx = 1/24 
 依此类推， n 个随机数之和不超过 1 的概率就是 1/n! ，反过来 n 个数之和大于 1 的概率就是 1 - 1/n! ，因此加到第 n 个数才刚好超过 1 的概率就是 
 (1 - 1/n!) - (1 - 1/(n-1)!) = (n-1)/n! 
因此，要想让和超过 1 ，需要累加的期望次数为 
∑(n=2..∞) n * (n-1)/n! = ∑(n=1..∞) n/n! = e 

4. Assume a full deck of cards has 52cards,2 blacks suits (spade and club) and 2 red suits(diamond and heart). Ifyou are given a full deck,and a half deck(with 1 red suit and 1 blacksuit),what is the possibility for each one getting 2 red cards if taking 2cards?

这道题的解题思路是这样的：

首先计算的是从 52 张牌中（其中 13 *2张红色， 13*2张黑色）不放回选出 2张红色 C（1,26）*C(1,25) / C(1,52)*C(1,51) = 25/102

 

从26张红牌中抽取一张红牌，在不放回抽出的红牌基础上，继续从剩余的25张红牌中抽取一张红牌。就从13张红色牌和13张黑色牌中连续(不放回)2次抽出红牌的概率计算同上：

C(1,13)*C(1,12) / C(1,26)*C(1,25) =12/(2*25) = 12/50

 

5. 强度为2的泊松分布过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为（）的同一指数分布

A、0.5     B、1     C、2     D、3

强度λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从同一个指数分布（即参数为λ 的指数分布），而指数分布的均值为1/λ 。因此答案是1/2 = 0.5.

 

6. 一堆硬币，一个机器人，如果是反的就翻正，如果是正的就抛掷一次，无穷多次后，求正反的比例。

A 、3：1    B、2：1    C、4:1      D、6:1

这个问题关键有2点： 1）.状态转移条件，如果为反就翻正，如果是正就抛掷一次 2）.状态终止条件，本次翻转后得到的正反比例，和下次翻转后得到的正反比例相同 设某个阶段正面的比例为p，则反面的比例为1-p。下一次执行转移条件，正面的比例为p/2 + (1-p)，反面的比例为p/2，根据终止条件得到方程： p / (1-p) = (p/2 + (1-p)) / (p/2) ==> p = 2 / 3;

本次正面 ：本次反面 == 下次正面 ：下次反面

因此正反比例为 p / (1-p) = 2 : 1

 

分析：假设某个阶段正面硬币的比例为p，则反面的比例为1-p，下一次翻转后，p的部分分为p/2的正面、p/2的反面，而1-p的反面部分全部变为正面。趋于平衡时，前后两次正反的比例应相等，即：p/(1-p)=(p/2+(1-p))/(p/2)，得到p=2/3。

更直接一点，翻转前后正面（反面）相等，即p=p/2+(1-p)，直接得到p=2/3。

 

7. 所有人口中，某癌症的患病率为0.008。对有癌症的病人，医院的化验测试有2%的可能错判其无癌症。对无癌症的病人，有3%的可能错判其有癌症。问：现有一新病人，化验测试表明其有癌症，该病人实际患有癌症的概率是多少？（计算过程四舍五入保留4位小数）

分析：题目要求的是化验结果患有癌症的条件下真换癌症的概率 
条件概率问题
化验有病且真有病概率：0.98*0.008
化验有病但真无病概率：0.03*0.992
0.98*0.008/(0.98*0.008+0.03*0.992)=0.2074

 

8. 硬币游戏：连续扔硬币，直到某一人获胜，A获胜条件是先正后反，B获胜是出现连续两次反面，问AB游戏时A获胜概率是？

先从第一次扔开始看

1）.若第一次为正，则A必定赢，因为继续扔不是正就是反，是反A就赢，是正继续扔，总会出现反的。

2）.若第一次为反，则看第二次，若第二次为正，则A还是赢（和1的理由一样），若是反，则B赢

综上，A获胜概率为3/4