【幸运数】求解过程

原题目：
小明同学学习了不同的进制之后，拿起了一些数字做起了游戏。小明同学知道，在日常生活中我们最常用的是十进制数，而在计算机中，二进制数也很常用。现在对于一个数字x，小明同学定义出了两个函数f(x)和g(x)。 f(x)表示把x这个数用十进制写出后各个数位上的数字之和。如f(123)=1+2+3=6。 g(x)表示把x这个数用二进制写出后各个数位上的数字之和。如123的二进制表示为1111011，那么，g(123)=1+1+1+1+0+1+1=6。 小明同学发现对于一些正整数x满足f(x)=g(x)，他把这种数称为幸运数，现在他想知道，小于等于n的幸运数有多少个？
输入描述：每组数据输入一个数n(n<=100000)
输出描述：每组数据输出一行，小于等于n的幸运数个数。
当输入21时，输出3，因为在[1，21]的区间内，只有1,20,21这三个数字的十进制和和二进制和相等。
【解题思路】
如果按照题目描述编写两个函数，对给出区间内所有的数字进行二进制和十进制和分别求解，然后在做比较，当给出的数字很大时，在题目规定时间内完成是不可能的，常规思路题目给出不可用，那么只能从十进制和二进制两种不同进制下，各数位上数字之和寻找规律，通过某种规律将100000以内的数位和保留建表，通过查表对比的方式，确定其小于等于n的幸运数个数。由于预设最大值为100000，对此开辟了大小为100001的数组对其数位和进行存储。
以二进制为例，其前16个数字的数位和如下图所示：

可以发现，每次二进制向前进一位，其后面所有数位又一次重复进位前的所有数字的过程，例如，当N=2时，二进制为10，保持第一个进制位不变，则后面只有一个进制位在改变，改变总数是两个，即10,11。在2之前，有0和1两个数字，则在10改变至11的过程中（从2变化为3），至少在0和1的基础上加1即可。同理，当N=4时，其二进制为100，从100变化到111（即4到7）的过程中一共有4个，去其第一个进制位，后面两个进制位的变化过程为00,01,10,11，即为0到3的变化过程。以此类推，可以将所求范围内的所有数字的二进制数位和求出，其代码如下（注意边界问题）

    vector<int>  datatwo(N, 0);    datatwo[1] = 1;    int index = 2;    while (true)    {        for (int i = 0; i < index; i++)        {            if (index + i < N)                datatwo[index + i] = datatwo[i] + 1;            else            {                index = N;                break;            }        }        if (index >= N)            break;        else            index *= 2;    }

对于十进制上的进制位之和的求法，与二进制类似，只不过在首位进制位上，由于二进制下要么是0，要么是1，所以对于首位后仅仅需要重复前面一次即可完成。但对于十进制则不同。十进制下数位和求解代码如下所示：

    vector<int>  dataten(N, 0);    for (int i = 0; i < 10; i++)        dataten[i] = i;    index = 10;    int cnt = 10;    while (index < N - 2)    {        for (int j = 0; j < 9; j++)            for (int k = 0; k < cnt; k++)                dataten[index + cnt * j + k] = dataten[k] + 1 + j;        cnt *= 10;        index = cnt;    }    dataten[index] = 1;

当数字是个位数时，则其数位和为其本身，保留写进表中（注：从0开始到9，一共10个数字）。当数位为两位数时，对于每个十位上的数字，其对应个位上数字上将变化10次。例如：当十位上数字为1时，其个位上数字从0变化到9，其数位和分别为数字0–9数位和加1的结果。当十位上数字为2时，其个位上数字从0变化到9，其数位和分别为数字0–9数位和加2的结果，以此类推，在10到99的变化过程中，一共需要循环个位数9次，每次按照十位上数字的不同，累加不同的值。当数字是三位数时，规律如两位数相同。通过对数字区间划分，保留百位上数字不变时，循环中的不再仅仅是10个个位数，而是小于最小三位数（即100）100个数字，即100-199,200-299等，直到900-999。边界上，预设值为100001，当index为99999时，退出循环，并对dataten[100000]赋值为1。
验证：每次对于输入的数字，只需要判断从1到该数字上，这一段区间上，两个数组对应位置上的数位和是否相同即可，并累加其总数和。

    int sum = 0;        for (int i = 1; i <= n; i++)            if (dataten[i] == datatwo[i])            {                cout << i << endl;                sum++;            }