2017-07-25 51nod 1189 素数打表 素数筛 质因数分解
来源:互联网 发布:java main启动 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 01:22
题目描述:
1/N! = 1/X + 1/Y(0<x<=y),给出N,求满足条件的整数解的数量.
例如:N = 2,1/2 = 1/3 + 1/6,1/2 = 1/4 + 1/4。
由于数量可能很大,输出Mod 10^9 + 7
INPUT:
输入一个数N(1 <= N <= 1000000)
OUTPUT:
输出解的数量Mod 10^9 + 7
样例输入:
2
样例输出:
2
应用之前看过某篇博文的话来说,"思路:通常这种题目,x和y都具有轮换性时,就要特别注意了,通常最后式子能化简成一个具有轮换性的式子"
不过这个我愣是没有化出来,搜了网上的题解才知道.....
例如1/p=1/a+1/b, 就可以化成p*p=(a-p)*(b-p) (这个你自己去化)
对于此题,就是(N!)^2=(X-N!)*(Y-N!)
分别将(X-N!)变成X``,(Y-N!)变成Y``
然后就变成了(N!)^2=(X``)*(Y``)
那就变成对(N!)^2进行分解,求X``,Y``搭配的对数,需要质因数分解
质因数分解需要给素数打表 自己原来写的和网上的效率差了大概 呃 也就几百毫秒 吧
给N!进行质因数分解,从2到N依次分解(1不用分解),然后每除以一个质数因子就在factor[ ]里面++
但是实际上我们真正要分解的是(N!)^2,所以这个东西到最后还要乘以二再处理,这是后话
其中factor下标是指这个质数从2数起的第几个质数-1,比如质数7是第4个质数,那么它的下标是3,每次让原来的数字n除以一个质数因子7就让factor[3]+=2
这个意义很重要因为后面要用
然后更新(N!)^2的最大质因数的序号下标max_no
这里为了减少时间,有个技巧是一个合数的最大质因数的平方一定小于这个合数
不过这个技巧后面要加个if,具体原因见下面的代码的注释(对 我懒 有问题嘛)
分解到N分解完了会得到一个完整的分解质因数的数组factor[ ]和出现的最大的质因数的序号下标max_no
随手举例:factor[2]=1,max_no=2,就是指这个阶乘分解质因数之后里面只有一个5,而且这个5也是出现的最大的质因数(5是第三个质数,反映到下标就是3-1=2)
然后从(factor[0]*2+1)*(factor[1]*2+1)*......*(factor[max_no]*2+1),这个式子相乘的时候记得取模哦
得到的就是 总结果数取模后的结果
为什么乘以2,往上看几行,对,就"后话"那里
为什么要加一再都乘起来,因为要找(N!)^2=(X``)*(Y``)中X``和Y``的搭配个数的情况,至于为什么自己去想
但是这里是不考虑X,Y的大小情况的
如果这个总方案数是个奇数,那肯定是有一个X=Y的情况的,所以+1然后除以2
如果总方案数是个偶数,直接除以2也行,+1除以二也行,反正小数点之后就被抹掉了
不过题目又要取模对吧哈哈哈哈哈哈
求2关于MOD的逆元就可以,再次利用费马小定理可以知道这个逆元可以用2^(MOD-2)计算
然后又是快速幂,要取的模就是MOD
然后把这个算完的逆元 乘以之前的 总结果数取模后的结果 然后再取模
就是res
代码如下
#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#define MOD 1000000007long long int prime[1000010];//prime[0]=2,prime[1]=3,prime[2]=5,prime[3]=7,........bool is_prime[1000010];//自己写的素数打表需要的一个数组,实际上最后跟prime数组和no_prime数组作用重叠了int factor[1000010];//记录分解质因数之后的结果int no_prime[1000010];//记录质数的下标,比如no_prime[5]=2,就是说5这个质数的下标是2,对应实际就是是第2+1=3个质数int maxx(int a,int b){ if(a>b) return a; else return b;}long long int quick_mod(long long int a,long long int p)//计算(a^p)%mod即快速幂 用于计算指数p特别大的情况{ //计算(a^p)%mod long long int res=1; while(p) { if(p&1) res=res*a%MOD;//int有可能会冒,视情况换成long long p>>=1;//就是 p=p/2 a=(a*a)%MOD; } return res;}/*int work_prime(){ int i,j; for(i=0; i<1000010; i++) { is_prime[i]=true; } memset(prime,0,sizeof(prime)); is_prime[0]=is_prime[1]=false; for(i=2; i<1000010; i++) { while(is_prime[i]!=true) i++; for(j=2; i*j<1000010; j++) { is_prime[i*j]=false; } } j=0; for(i=2; i<1000010; i++) { if(is_prime[i]==true) { prime[j]=i; no_prime[i]=j; j++; } } return j;}*///自己写的可能超时的版本,先筛再记录会浪费时间int work_prime(){//来自网上某博文,忘记网址了你打我啊//感觉很精妙,实话//不用先筛再遍历记录,时间快了不少 int res; res=0; memset(prime,0,sizeof(prime)); for (int i = 2; i <= 1000010; i++) { if (!prime[i]) { prime[(++res)-1] = i; no_prime[i]=res-1; } for (int j = 1; j <= res && prime[j-1] <= 1000010 / i; j++) { prime[prime[j-1] * i] = 1; if (i % prime[j-1] == 0) { break; } } } return res;}int work_factor(int fac[1000010],int n,int n_prime){ int i,max_no; for(i=0; i<n_prime&&prime[i]*prime[i]<=n; i++)//中间的平方是减少时间的附加条件 { while(n%prime[i]==0) { n=n/prime[i]; fac[i]++; max_no=i; } } if(n!=1)//这一段判断条件是用来防止n最后自己就是一个质数的,比如当n为2的时候跳出的时候,实际上fac数组并没有记录完实际的分解质因数的情况 { fac[no_prime[n]]++; } max_no=maxx(max_no,no_prime[n]);//更新max_no return max_no;}int main(){ int i,n_prime,max_no,n; long long int res,ni; n_prime=work_prime();//打表 ni=quick_mod(2,MOD-2);//实际上这个还不如提前算好了放进去....... while(scanf("%d",&n)!=EOF) { memset(factor,0,sizeof(factor)); res=1; for(i=2; i<=n; i++) { max_no=maxx(max_no,work_factor(factor,i,n_prime));//更新max_no } for(i=0; i<n; i++) { res=(res*(factor[i]*2+1))%MOD; } res=((res+1)*ni)%MOD; printf("%lld\n",res); } return 0;}
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