3D数学基础：图形与游戏开发第5章笔记

向量运算

线性代数与几何

符号约定

• 标量，用斜体的小写罗马或希腊字母表示，如a, b, x, y, z, θ, γ, λ.
• 向量，用小写黑粗体字母表示，如a, b, u, v, q, r.
• 矩阵，用大写黑粗体字母表示，如A, B, M, R.
• 注意，不用的文档有不用的符号约定。一种常用的手写约定是，用符号a⃗ 表示向量

零向量

• 任何集合都存在加性单位元x，对集合中任意元素y，满足y+x=y.
• 零向量是唯一一个没有方向的向量.
• 零向量表示的是”没有位移”.

负向量

对于任何集合，元素x的加性逆元为-x，其与x相加等于加性单位元，也就是x+(-x)=0.

运算法则

• −[x,y,z]=[−x,−y,−z].

几何解释

• 向量变负，将得到一个和原向量大小相等，方向相反的向量.

向量大小（长度或模）

运算法则

• 向量的大小用向量两边家双竖线表示，如∥v⃗ ∥=∑ni=1v2i−−−−−−√.
• 向量的大小就是向量个分量平方和的平方根，∥v⃗ ∥=v2x+v2y+v2z−−−−−−−−−−√.
• 向量的大小就是一个非负标量.

几何解释

• 对2D中的任意向量v⃗ ，能构造一个以v⃗ 为斜边的直角三角形.
• |x⃗ |2=x⃗ 2.

标量与向量的乘法

标量与向量相乘，结果将得到一个向量，与原向量平行，但长度不同或方向相反.

运算法则

• 将向量的每个分量都与标量相乘即可,
  
  v⃗ k=(1k)v⃗ =[vx/k,vy/k,vz/k]
• 标量与向量相乘时，不需要写乘号.
• 标量与向量的乘法与除法优先级高于加法与减法.
• 标量不能除以向量，且向量不能除以另一个向量.
• 负向量能被认为是乘法的特殊情况，乘以标量-1.

几何解释

• 向量乘以标量k的效果是以因子|k|缩放向量的长度，如果k<0则向量的方向被反转.

标准化向量

单位向量就是大小为1的向量，单位向量也被称作标准化向量或者更简单的称为“法线”.

运算法则

• 对于任意非零向量，都能计算出一个和v⃗ 方向相同的单位向量v⃗ norm=v⃗ ∥v⃗ ∥,v⃗ ≠0⃗ .
• 零向量不能被标准化.

几何解释

• 2D平面中，如果以原点为尾画一个单位向量，那么向量的头将位于圆心在原点的单位圆上.3D空间中，单位向量的头将位于单位球上.

向量的加法和减法

如果两个向量的维数相同，那么它们能相加、或相减，结果向量的维数与原向量相同.

运算法则

• 两个向量相加，将对应分量相加即可.
• 减法解释为加负向量，a⃗ −b⃗ =a⃗ +(−b⃗ ).
• 向量不能与标量或维数不同的向量相加减.
• 向量的加法满足交换律，但向量减法不满足交换律.

几何解释

• 加法：平移向量，使a⃗ 的头连接b⃗ 的尾，接着从a⃗ 的尾向b⃗ 的头画一个向量，这就是向量加法的“三角形法则”.
• 减法：平移向量，使a⃗ 的尾连接b⃗ 的尾，接着从b⃗ 的头向a⃗ 的头画一个向量，这就是a⃗ −b⃗ 的结果向量.

一个点到另一个点的向量

• 减法a⃗ −b⃗ 代表了从b⃗ 到a⃗ 的向量.

距离公式

• d⃗ =a⃗ −b⃗ , a⃗ 到b⃗ 的距离等于d⃗ 的长度.
• 距离(a⃗ ,b⃗ )=∥a⃗ −b⃗ ∥=(ax−bx)2+(ay−by)2+(az−bz)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√.

向量点乘(内积)

运算法则

• 向量点乘中不能省略点乘号.
• 向量点乘就是对应分量乘积的和，其结果是一个标量：
  a⃗ ⋅b⃗ =∑ni=1aibi
• 点乘满足交换律，a⃗ ⋅b⃗ =b⃗ ⋅a⃗ .

几何解释

• 点乘描述了两个向量的“相似”程度，点乘结果越大，两向量越相近.
• 点乘等于向量大小与向量夹角的cos值的积：a⃗ ⋅b⃗ =∥a⃗ ∥⋅∥b⃗ ∥⋅cosθ.
• θ=arccos(a⃗ ⋅b⃗ ∥a⃗ ∥⋅∥b⃗ ∥)
  .
• 零向量和任意其他向量都垂直.
• 点乘结果的符号可大致确定θ的类型：
  

a⃗ ⋅b⃗  θ a⃗ 和b⃗  >0 0。≤θ<90。 方向基本相同 =0 θ=90。 正交 <0 90。<θ≤180。 方向基本相反

向量投影

• 给定两个向量v⃗ 和n⃗ ，能将v⃗ 分解成两个向量：v⃗ ∥和v⃗ ⊥.它们分别与n⃗ 平行和垂直，并且满足v⃗ =v⃗ ∥+v⃗ ⊥.一般称平行分量v⃗ ∥为v⃗ 在n⃗ 上的投影.
• 下面求证v⃗ ∥:
  
  v⃗ ⋅n⃗ =∥v⃗ ∥⋅∥n⃗ ∥⋅cosθ(1)
  
  
  v⃗ ∥=n⃗ ∥v⃗ ∥∥∥n⃗ ∥(2)
  
  
  cosθ=∥v⃗ ∥∥∥v⃗ ∥(3)
  
  变形为
  
  cosθ∥v∥→=∥v⃗ ∥∥(4)
  
  (4)式代入(2)式得
  
  v⃗ ∥=n⃗ ∥v∥→⋅cosθ∥n⃗ ∥(5)
  
  右边同时乘以∥n⃗ ∥
  
  v⃗ ∥=n⃗ ∥v∥→⋅∥n⃗ ∥⋅cosθ∥n⃗ ∥2(6)
  
  (1)式代入(6)式得
  
  v⃗ ∥=n⃗ v⃗ ⋅n⃗ ∥n⃗ ∥2(6)
• 由v⃗ =v⃗ ∥+v⃗ ⊥知：
  
  v⃗ ⊥=v⃗ −n⃗ v⃗ ⋅n⃗ ∥n⃗ ∥2

向量叉乘(叉积)

向量叉乘结果是向量，并且叉乘不满足交换律

运算法则

• 叉乘公式：
  
  ⎡⎣⎢x1y1z1⎤⎦⎥×⎡⎣⎢x2y2z2⎤⎦⎥=⎡⎣⎢y1z2−z1y2z1x2−x1z2x1y2−y1x2⎤⎦⎥
• 叉乘的乘法优先于加减法之前计算，当点乘和叉乘在一起时，叉乘优先计算，a⃗ ⋅b⃗ ×c⃗ =a⃗ ⋅(b⃗ ×c⃗ )(三重积).
• 叉乘满足反交换律：a⃗ ×b⃗ =−(b⃗ ×a⃗ ).
• 叉乘也不满足结合律：(a⃗ ×b⃗ )×c⃗ ≠a⃗ ×(b⃗ ×c⃗ )

几何解释

• 叉乘的得到的向量垂直于原来的两个向量.
• a⃗ ×b⃗ 的长度等于向量的大小与向量夹角sin值的积，如：∥a⃗ ×b⃗ ∥=∥a⃗ ∥⋅∥b⃗ ∥⋅sinθ(以a⃗ 和b⃗ 为边的平行四边形面积).
• 叉乘对零向量的解释为：它平行于任意其他向量.
• 在左手坐标系中，让a⃗ 和b⃗ 的尾部相连，如果a⃗ 和b⃗ 呈顺时钟，那么a⃗ ×b⃗ 垂直于a⃗ 和b⃗ 所在平面且方向向上.

线性代数公式

• 向量加法的交换律：a⃗ +b⃗ =b⃗ +a⃗ 
• 向量减法的定义：a⃗ −b⃗ =a⃗ +(−b⃗ )
• 向量加法的结合律：(a⃗ +b⃗ )+c⃗ =a⃗ +(b⃗ +c⃗ )
• 标量乘法的结合律：s(ta⃗ )=(st)a⃗ 
• 标量乘法对向量加法的分配律：k(a⃗ +b⃗ )=ka⃗ +kb⃗ 
• 向量乘以标量相当于以标量的绝对值为因子缩放向量：∥ka⃗ ∥=|k|∥a⃗ ∥
• 向量的模非负：∥a⃗ ∥≥0
• 勾股定理在向量中的应用：若a⃗ ⊥b⃗ ，则∥a⃗ ∥2+∥b⃗ ∥2=∥a⃗ +b⃗ ∥2
• 向量加法的三角形法则：∥a⃗ ∥+∥b⃗ ∥≥∥a⃗ +b⃗ ∥
• 点乘的交换律：a⃗ ⋅b⃗ =b⃗ ⋅a⃗ 
• 用点乘定义向量的大小：∥a⃗ ∥=a⃗ ⋅a⃗ −−−−√
• 标量乘法对点乘的结合律:k(a⃗ ⋅b⃗ )=(ka⃗ )⋅b⃗ =a⃗ ⋅(kb⃗ )
• 点乘对向量加减法的分配律：a⃗ ⋅(b⃗ +c⃗ )=a⃗ ⋅b⃗ +a⃗ ⋅c⃗ 
• 任意向量与自身的叉乘等于零向量：a⃗ ×a⃗ =0⃗ 
• 叉乘逆交换律：a⃗ ×b⃗ =−(b⃗ ×a⃗ )
• 叉乘的操作数同时变负得到相同的结果：a⃗ ×b⃗ =(−a⃗ )×(−b⃗ )
• 标量乘法对叉乘的结合律：k(a⃗ ×b⃗ )=(ka⃗ )×b⃗ =a⃗ ×(kb⃗ )
• 叉乘对向量加法的分配律：a⃗ ×(b⃗ +c⃗ )=a⃗ ×b⃗ +a⃗ ×c⃗ 
• 向量与另一向量的叉乘再点乘该向量本身等于零：a⃗ ⋅(a⃗ ×b⃗ )=0

练习