POJ3648 A Simple Problem with Integers(树状数组实现)

题目描述：
题目链接： poj3648 http://poj.org/problem?id=3468
题目大意： 对于一个序列，进行区间修改，区间询问。读入数据在int范围内，但是计算的和等会超int,要用 long long。
题目分析：
如果用线段树做就是模板题，打标记+标记下传（标记永久化）。但是利用树状数组就不同了，因为普通的树状数组只支持单点修改。对于区间修改，我们假设序列为a[i]，一个数组b[i]=a[i]-a[i-1]，那么就有a[i]=b[1]+b[2]+······+b[i]。考虑一段区间和：
a[1]+a[2]+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a[n]
=(b[1])+(b[1]+b[2])+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+（b[1]+b[2]+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+b[n]）
=n∗b[1]+(n−1)∗b[2]+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1∗b[n]
=n∗(b[1]+b[2]+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+b[n])−(0∗b[1]+1∗b[2]+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(n−1)∗b[n])。
于是考虑维护一个数组c[i]=（i−1）∗b[i],则有a[1]+a[2]+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a[n]=n∗(b[1]+b[2]+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+b[n])−(c[1]+c[2]+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+c[n])。我们就可以维护两个树状数组b[i]和c[i]。其余就基本与普通的树状数组一样了。
注：虽然树状数组与线段树的时间复杂度都为log(n),但是树状数组的常数小于线段树，所以跑起来更快。并且代码量也小一些。当然树状数组的局限性大于线段树。下附我的代码在POJ上的测试结果，时间上只有其他人的二分之一到三分之一，所用空间也只有别人的二分之一。

附代码：

#include<iostream>#include<cstring>#include<string>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<ctime>#include<queue>#include<iomanip>#include<cmath>#include<map>#include<set>#include<cctype>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=1e5+10;int n,q,x,y,z,a[maxn];char s;struct node{    long long a;//对应分析中的b数组    long long b;//对应分析中的c数组}tree[maxn]; int readint(){    char ch;int i=0,f=1;    for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());    if(ch=='-')    {        ch=getchar();        f=-1;    }    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())        i=(i<<3)+(i<<1)+ch-'0';    return i*f;}int lowbit(int x){    return x&(-x);}void update(int x,int y){    long long z=(long long)y*(x-1);//很据分析中的定义维护    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))    {        tree[i].a+=y;        tree[i].b+=z;    }   }long long query(int x){    long long sum1=0,sum2=0;    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))    {        sum1+=tree[i].a;        sum2+=tree[i].b;        }    return x*sum1-sum2;//根据分析中的结果计算答案}int main(){    //freopen("lx.in","r",stdin);    n=readint();q=readint();    for(int i=1;i<=n;i++)    {        a[i]=readint();        update(i,a[i]-a[i-1]);    }    while(q--)    {        scanf("%c",&s);        if(s=='Q')        {            x=readint();y=readint();            long long ans=query(y)-query(x-1);            printf("%lld\n",ans);        }        else        {            x=readint();y=readint();z=readint();            update(x,z);            update(y+1,-z);        }    }    return 0;}