算法导论3.2练习题

3.2-1

设n1⩽n2;∴f(n1)⩽f(n2),g(n1)⩽g(n2)∴f(n1)+g(n1)⩽f(n2)+g(n2)same;∴f(g(n1))⩽f(g(n2))same;∵f(n)≥0,g(n)≥0∴f(n1)⋅g(n1)⩽f(n2)⋅g(n2)

3.2-2

∵a>0,b>0,c>0,n;∴ac=ca∴logba⋅logbc=logbc⋅logba∴logbalogbc=logbclogba∴alogbc=clogba

3.2-3

∀c>0,∃n0>0,make ∀n≥n0,∴∃0≤n!≤cnn∴n!=ω(nn) ∀c>0,∃n0>0,make ∀n≥n0,∴∃0≤c2n<n!∴n!=ω(2n) ∵n!=2πn−−−√(ne)n(1+Θ(1n))∴lgn!=lg2πn−−−√+lg((1en)n)+lg(1+Θ(1n))∴lgn!=Θ(lgn12)+Θ(nlgn)+Θ(lgn−1)此时将其他值转成常量不再关注∴lgn!=Θ(lgn)+Θ(nlgn)−Θ(lgn)将指数的符号取到外面抵消∴lgn!=Θ(nlgn)

3.2-4

∵函数的多项式有界定义：∃k:f(n)=O(nk);make:f(n)=⌈lgn⌉!∴⌈lgn⌉!=c⋅nk;∴⌈lg2n⌉!=c⋅(2n)k;∴n!=c⋅2n⋅k;∴lg(n!)=lg(c)+lg(n⋅k);make:忽略常量,并将k作为新的c:n!≠O(n);∴⌈lgn⌉!多项式无界

same:f(n)=⌈lg lgn⌉!;∴⌈lg lg(22n)⌉!=c⋅22nk;∴lg(n!)=lg(2nk);∴n!≠O(2n);∴⌈lg lgn⌉!多项式无界！

理论上，如果f(n)单调递增,且增速不小于logn， 则f(n)! 多项式无界

3.2-5

因为函数lg∗的增长极慢，可以将其作为常量看,∴lgn<n;∴后者大

3.2-6

分别将ϕ=1+5√2,ϕ^=1−5√2代入到方程：x2=x+1可得解

3.2-7

make:i=0,thus:F0=0;make:i=1,thus:F1=1;make:i>1,Fi−1=ϕi−1−ϕ^i−15√;Fi=ϕi−ϕ^i5√;Fi+1=ϕi+1−ϕ^i+15√;

3.2-8

∵klnk=Θ(n)(k作为常量存在);∴n0≥klnk;∵k=Θ(nlnn);∴n1≥klnn≥klnklnk=klnk+klnlnkn0≤n1旧的渐进函数包涵了新的渐进函数的边界∴k=O(nlnn),k=Ω(nlnn=0);∴k=Θ(nlnn)