最大公约数 与 异或 UVA GCD XOR 数论小技巧记录

题目：UVA 12716

约定a >= b, (a, b) = c. 那么 c <= (a, b). 应该知道(a, b)意为最大公约数gcd

a ^ b = c    ===     c <= a ^ b, 

a 不能等于 b, 反正法：若a= b, a ^ b = 0. 而 (a, b) = a != 0。不会满足题意的。得知 c <= a - b <= a ^ b = c,所以 c = a - b

就下来就是暴力枚举因数c, 和 a.时间复杂度O(nlogn)。一次离线处理即可。

#include <iostream>#include <iomanip>#include <cstring>using namespace std;const int maxn = 3e7;long long f[maxn + 1];void init() { //离线预处理 memset(f, 0, sizeof f);int maxC = maxn / 2; //gcd最大为最大数值的一般对吧 for(int c = 1; c <= maxC; ++c) { //枚举最大公约数 for(int i = 2; i * c <= maxn; ++i) { //枚举因子 int a = i * c;int b = a ^ c;if(a - b == c) {f[a]++;}} } for(int i = 2; i <= maxn; ++i)f[i] += f[i - 1];} int main(){init();//预处理 int T, kase = 0;cin >> T;while(T--) {int n;cin >> n;cout << "Case " << ++kase << ": " << f[n] << endl; }return 0;}