斐波那契数

斐波那契数列(Fibonacci sequence)

【简介】

        斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）

【黄金分割】

当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618）。

1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625…………，55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…...

【特性】

一、平方与前后项

        从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。即：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)

如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。

二、与集合子集

       斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。

三、奇数项求和

          

四、偶数项求和

         

五、平方求和

        

【应用】

【杨辉三角】

         将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……

                            

公式表示如下：

f⑴=C(0,0)=1。

f⑵=C(1,0)=1。

f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。

f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。

f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。

f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。

f⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。

……

f(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)

【矩形面积】

斐波那契数列与矩形面积的生成相关，由此可以导出一个斐波那契数列的一个性质。斐波那契数列前几项的平方和可以看做不同大小的正方形，由于斐波那契的递推公式，它们可以拼成一个大的矩形。这样所有小正方形的面积之和等于大矩形的面积。则可以得到如下的恒等式：

                                                                        

【排列组合】

         有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?

         这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……

1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。

演化：一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？

【实现】

#define max 80__int64 c[max];void p(){int i;c[0]=c[1]=1;for(i=2;i<max;i++){c[i]=c[i-1]+c[i-2];}}

Number Sequence

Problem Description

A number sequence is defined as follows:

f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7.

Given A, B, and n, you are to calculate the value of f(n).

 

Input

The input consists of multiple test cases. Each test case contains 3 integers A, B and n on a single line (1 <= A, B <= 1000, 1 <= n <= 100,000,000). Three zeros signal the end of input and this test case is not to be processed.

 

Output

For each test case, print the value of f(n) on a single line.

 

Sample Input

1 1 31 2 100 0 0

 

Sample Output

25

 

#include<iostream>using namespace std;int main(){    int a,b,n,i,arr[48];arr[1]=1;arr[2]=1;    while(cin>>a>>b>>n,a||b||n){        for(i=3;i<48;i++)            arr[i]=((a*arr[i-1]+b*arr[i-2])%7);        cout<<arr[n%48]<<endl;    }    return 0;}