HDU-6050 Funny Function

2017 Multi-University Training Contest - Team 2 - 1006

HDU-6050 Funny Function

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题意：

给出n, m
n代表 Fi,j  等于上一行从j开始往后n个元素的和
然后求第m行第一个元素 Fm,1 的值

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思路：

先证

Fi,j=Fi,j−1+2∗Fi,j−2

这里用数学归纳法来证明

取 i = 2 ，n = 1

则F2,j=F1,j 可以推出 F2,j=F2,j−1+2∗F2,j−2

假设 n = x 时 F2,j=F2,j−1+2∗F2,j−2 成立

即 ∑j+2+x−1k=jF1,k=∑j+1+x−1k=j+1F1,k+2∗∑j+x−1k=jF1,k    - - - - - -    ① 成立

当 n = x + 1 时

F2,j+2=∑j+2+xk=j+2F1,k=∑j+2+x−1k=j+2F1,k+F1,j+2+x

F2,j+1=∑j+1+xk=j+1F1,k=∑j+1+x−1k=j+1F1,k+F1,j+1+x

F2,j=∑j+xk=jF1,k=∑j+x−1k=jF1,k+F1,j+x

由题目中 F1，j=F1，j−1+2∗F1,j−2 得出 F1，j+2=F1，j+1+2∗F1,j

又因为 ① 所以我们可以得出 F2，j=F2，j−1+2∗F2,j−2 在 n≥1时成立

然后以此类推 i = 3, 4, 5, 6 ······ 时也成立

证毕

再证

∑jk=1Fi,k=Fi,j+1−Fi,1 ( j 为偶数时)

∑jk=1Fi,k=Fi,j+1+Fi,1−Fi,2 ( j 为奇数时)

由上一步的公式 Fi,j=Fi,j−1+2∗Fi,j−2 得

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当 j 为偶数时

Fi,j+1=Fi,j+2∗Fi,j−1

Fi,j−1=Fi,j−2+2∗Fi,j−3

Fi,j−3=Fi,j−4+2∗Fi,j−5

······

Fi,3=Fi,2+2∗Fi,1

我们把等号左右分别加起来得到

Fi,j+1=Fi,j+Fi,j−1+Fi,j−2+⋅⋅⋅+Fi,2+2∗Fi,1

           =Fi,j+Fi,j−1+Fi,j−2+⋅⋅⋅+Fi,2+Fi,1+Fi,1

           =∑jk=1Fi,j+Fi,1

移项得 ∑jk=1Fi,k=Fi,j+1−Fi,1 ( j 为偶数时)

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当 j 为奇数时

Fi,j+1=Fi,j+2∗Fi,j−1

Fi,j−1=Fi,j−2+2∗Fi,j−3

Fi,j−3=Fi,j−4+2∗Fi,j−5

······

Fi,4=Fi,3+2∗Fi,2

把等号左右分别加起来得

Fi,j+1=Fi,j+Fi,j−1+Fi,j−2+⋅⋅⋅+Fi,2+2∗Fi,2

等号两边分别加上 Fi,1 得

Fi,j+1+Fi,1=Fi,j+Fi,j−1+Fi,j−2+⋅⋅⋅+Fi,2+Fi,2+Fi,1+Fi,2

Fi,j+1+Fi,1=∑jk=1Fi,k+Fi,2

移项得 ∑jk=1Fi,k=Fi,j+1+Fi,1−Fi,2 ( j 为奇数时)

证毕

然后是

(Fm,1,Fm,2)=(F1,1,F1,2)(An−B0)m−1 ( n 为偶数时)

(Fm,1,Fm,2)=(F1,1,F1,2)(An−B1)m−1 ( n 为奇数时)

由第一步的递推公式 Fi,j=Fi,j−1+2∗Fi,j−2 来构造矩阵

(Fi,j−1,Fi,j)=(Fi,j−2,Fi,j−1)∗(0121)

令 A=(0121)

则 (Fi,j,Fi,j+1)=(Fi,j−1,Fi,j)∗A=(Fi,1,Fi,2)∗Aj−1    - - - - - -    ①

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当 n 为偶数时

由题目所给公式可得

Fi,1=∑nk=1Fi−1,k         由第二步公式得

        =Fi−1,n+1−Fi−1,1

Fi,2=∑n+1k=1Fi−1,k−Fi−1,1        由第二步公式得

        =Fi−1,n+2+Fi−1,1−Fi−1,2−Fi−1,1

        =Fi−1,n+2−Fi−1,2

则可以得出

(Fi,1,Fi,2)=(Fi−1,n+1−Fi−1,1,Fi−1,n+2−Fi−1,2)

                   =(Fi−1,n+1,Fi−1,n+2)−(Fi−1,1,Fi−1,2)         令①中 j = n + 1 带入得

                   =(Fi−1,1,Fi−1,2)∗An−(Fi−1,1,Fi−1,2)∗(1001)

令 B0=(1001) 则可以得到

(Fi,1,Fi,2)=(Fi−1,1,Fi−1,2)∗(An−B0)

而这又是一个递推关系，我们就可以得到

(Fm,1,Fm,2)=(F1,1,F1,2)∗(An−B0)m−1

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当 n 为奇数时

Fi,1=∑nk=1Fi−1,k        由第二步公式得

        =Fi−1,n+1+Fi−1,1−Fi−1,2

Fi,2=∑n+1k=1Fi−1,k−Fi−1,1        由第二步公式得

        =Fi−1,n+2−Fi−1,1−Fi−1,1

        =Fi−1,n+2−2∗Fi−1,1

则可以得出

(Fi,1,Fi,2)=(Fi−1,n+1+Fi−1,1−Fi−1,2,Fi−1,n+2−2∗Fi−1,1)

                   =(Fi−1,n+1,Fi−1,n+2)−(−Fi−1,1+Fi−1,2,2∗Fi−1,1)         令①中 j = n + 1 带入得

                   =(Fi−1,1,Fi−1,2)∗An−(Fi−1,1,Fi−1,2)∗(−1120)

令 B1=(−1120) 则可以得到

(Fi,1,Fi,2)=(Fi−1,1,Fi−1,2)∗(An−B1)

而这又是一个递推关系，我们就可以得到

(Fm,1,Fm,2)=(F1,1,F1,2)∗(An−B1)m−1

综上我们得出了两个公式

(Fm,1,Fm,2)=(F1,1,F1,2)(An−B0)m−1 ( n 为偶数时)

(Fm,1,Fm,2)=(F1,1,F1,2)(An−B1)m−1 ( n 为奇数时)

及公式中的A,B0,B1矩阵

A=(0121)      B0=(1001)      B1=(−1120)

然后就可以愉快的使用矩阵快速幂求解了

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代码：

#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstring>using namespace std;const int mod = 1e9 + 7;struct S{    long long a[2][2];};S cheng(S a, S b)  // 矩阵乘法{    S temp;    memset(temp.a, 0, sizeof(temp.a));    for(int i = 0; i < 2; ++i)    {        for(int j = 0; j < 2; ++j)        {            for(int k = 0; k  < 2; ++k)            {                temp.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j] % mod;                temp.a[i][j] %= mod;            }        }    }    return temp;}int main(){    S a, b[2], f, temp;    int t;    long long n, m, n1;    while(~scanf("%d", &t))    {        while(t--)        {            memset(a.a, 0, sizeof(a.a));  // 初始化 A B0 B1 矩阵            memset(b[0].a, 0, sizeof(b[0].a));            memset(b[1].a, 0, sizeof(b[1].a));            memset(f.a, 0, sizeof(f.a));            memset(temp.a, 0, sizeof(temp.a));            a.a[0][1] = b[1].a[0][1] = 2;            a.a[1][0] = a.a[1][1] = b[0].a[0][0] = b[0].a[1][1] = b[1].a[1][0]  = f.a[0][0] = f.a[0][1] = 1;            b[1].a[0][0] = -1;            temp.a[0][0] = temp.a[1][1] = 1;            scanf("%lld%lld", &n, &m);            n1 = n;            while(n)  // temp保存A^n的值            {                if(n & 1)                {                    temp = cheng(temp, a);                }                n >>= 1;                a = cheng(a, a);            }            for(int i = 0; i < 2; ++i)  // A 保存 A^n - B 的值            {                for(int j = 0; j < 2; ++j)                {                    a.a[i][j] = temp.a[i][j] - b[n1 % 2].a[i][j];                }            }            memset(temp.a, 0, sizeof(temp.a));            temp.a[0][0] = temp.a[1][1] = 1;            --m;            while(m)  // 求(A^n - B)^(m - 1)保存在temp中            {                if(m & 1)                {                    temp = cheng(temp, a);                }                m >>= 1;                a = cheng(a, a);            }            f = cheng(f, temp); // 最后再用 {F(1,1) = 1 , F(1,2) = 1 } 乘上 (A^n - B)^(m - 1)            cout << f.a[0][0] << endl;        }    }    return 0;}

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