蒙特卡洛估值几种不同的计算方式(Python)

来源：互联网发布：网络论坛系统cms 编辑：程序博客网时间：2024/05/22 07:59

蒙特卡洛模拟计算看涨期权

蒙特卡洛估值是一个计算量较高的一个算法，对于简单的问题也需要海量的计算，因此要高效的实现蒙特卡洛算法．
下面使用不同的方法实现蒙特卡洛算法
１．Scipy
２．纯Python
３．Numpy(1)
４．Numpy(2)

方法一：Scipy

欧式看涨期权的定价公式Black-Scholes-Merton(1973):
　　公式１：　　　　　　
　　　　　　　 C(St,K,t,T,r,σ)=St∗N(d1)−e−r(T−t)∗K∗N(d2)
　　　　　　　
　　　　　　　 N(d)=12π√∫d−∞e−12x2dx
　　　　　　　　
　　　　　　　　　d1=log(StK)+(r+σ22)(T−t)σT−t√

　　　　　　　　　d2=log(StK)+(r－σ22)(T−t)σT−t√

St, t时刻股票或者指数的水平
K, 行权价格
T, 期权的到期年限(距离到期日时间间隔)
r, 无风险利率
σ,波动率(收益标准差)

# 倒入用到的库from math import log, sqrt, expfrom scipy import stats

# 期权的定价计算,根据公式１．def bsm_call_value(S_0, K, T, r, sigma):    S_0 = float(S_0)    d_1 = (log(S_0 / K) + (r + 0.5 *sigma **2) *T)/(sigma * sqrt(T))    d_2 = (log(S_0 / K) + (r - 0.5 *sigma **2) *T)/(sigma * sqrt(T))    C_0 = (S_0 * stats.norm.cdf(d_1, 0.0, 1.0) - K * exp(-r * T) * stats.norm.cdf(d_2, 0.0, 1.0))    return C_0

# 计算的一些初始值S_0 = 100.0    # 股票或指数初始的价格;K = 105        #  行权价格T = 1.0        #  期权的到期年限(距离到期日时间间隔)r = 0.05       #   无风险利率sigma = 0.2    # 波动率(收益标准差)

# 到期期权价值%time print bsm_call_value(S_0, K, T, r, sigma)

估值结果

8.02135223514CPU times: user 0 ns, sys: 0 ns, total: 0 nsWall time: 1.01 ms

8.0213522作为蒙特卡洛估值的基准值,计算耗时1.01ms,等于0.00101s
　

方法二：Python

下面的计算仍基于BSM(balck-scholes-merton),模型中的高风险标识(股票指数)在风险中立的情况下遵循以随机微分方程(SDE)表示的布朗运动．
随机微分方程：
　
　　　　　　　　dSt=rStdt+σStdZt

Zt是一个服从布朗运动的随机变量　
下面是蒙特卡洛估值公式２,中的参数与公式１中的定义相同：

　　　　　　St=St−Δtexp⟮⟮r−12σ2⟯Δt+σΔt‾‾‾√zt⟯
　
变量 zt 是服从正态分布的随机变量，Δt是一个足够小的一个时间间隔．期权的到期年限T满足0<5<=T(Hilpisch的著作中)
　
蒙特卡洛数值化计算方法：

１．将到期日之前的时间间隔[0,T],分割为多个等距的Δt子间隔
２．进行Ｉ次的模拟，i∈ {１，２，…Ｉ}
　每次模拟，循环M个子间隔, t∈ {Δt,2Δt,3Δt…T}
　(1),每个间隔点，取一个随机数 zt(i)
　(2),根据离散化公式３，计算 ST
　(3),计算T时刻，期权的内在价值 hT:
　　　
　　　　　　　　　　　　 hT(ST(i))=max(ST(i)−K,0)

３．根据Ｉ次的模拟，计算期权到期价值：

　　　　　　　　　　　　 C0=e−rT1T∑Ｉi=0hT(ST(i))
　　　　　　　

Python实现

# 纯Python实现from time import timefrom math import exp, sqrt, logfrom random import gauss, seed

seed(2000)# 计算的一些初始值S_0 = 100.0    # 股票或指数初始的价格;K = 105        #  行权价格T = 1.0        #  期权的到期年限(距离到期日时间间隔)r = 0.05       #   无风险利率sigma = 0.2    # 波动率(收益标准差)M = 50         # number of time stepsdt = T/M       # time entervalI = 20000       # number of simulation

start = time()S = []     # for i in range(I):    path = []    # 时间间隔上的模拟路径    for t in range(M+1):        if t==0:            path.append(S_0)        else:            z = gauss(0.0, 1.0)            S_t = path[t-1] * exp((r-0.5*sigma**2) * dt + sigma * sqrt(dt) * z)            path.append(S_t)    S.append(path)# 计算期权现值C_0 = exp(-r * T) *sum([max(path[-1] -K, 0) for path in S])/Itotal_time = time() - startprint 'European Option value %.6f'% C_0print 'total time is %.6f seconds'% total_time

估值结果

European Option value 8.159995total time is 2.384639 seconds

前３０条模拟路径

# 选取部分模拟路径可视化import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline plt.figure(figsize=(10,7))plt.grid(True)plt.xlabel('Time step')plt.ylabel('index level')for i in range(30):    plt.plot(S[i])

这里写图片描述

方法三：Numpy

使用numpy的一些数组计算，减少for循环使用

import numpy as npfrom time import time

# 计算的一些初始值S_0 = 100.0    # 股票或指数初始的价格;K = 105        #  行权价格T = 1.0        #  期权的到期年限(距离到期日时间间隔)r = 0.05       #   无风险利率sigma = 0.2    # 波动率(收益标准差)M = 50         # number of time stepsdt = T/M       # time entervalI = 20000       # number of simulation

# 20000条模拟路径，每条路径５０个时间步数S = np.zeros((M+1, I))S[0] = S_0np.random.seed(2000)start = time()for t in range(1, M+1):    z = np.random.standard_normal(I)    S[t] = S[t-1] * np.exp((r- 0.5 * sigma **2)* dt + sigma * np.sqrt(dt)*z)C_0 = np.exp(-r * T)* np.sum(np.maximum(S[-1] - K, 0))/Iend = time()

# 估值结果print 'total time is %.6f seconds'%(end-start)print 'European Option Value %.6f'%C_0

估值结果

total time is 0.166926 secondsEuropean Option Value 7.993282

前２０条模拟路径

# 前２０条模拟路径import matplotlib.pyplot as plt%matplotlib inline plt.figure(figsize=(10,7))plt.grid(True)plt.xlabel('Time step')plt.ylabel('index level')for i in range(20):    plt.plot(S.T[i])

这里写图片描述

到期指数模拟水平

# 到期时所有模拟指数水平的频率直方图%matplotlib inlineplt.hist(S[-1], bins=50)plt.grid(True)plt.xlabel('index level')plt.ylabel('frequency')

这里写图片描述

到期期权内在价值

# 模拟期权到期日的内在价值%matplotlib inlineplt.hist(np.maximum(S[-1]-K, 0), bins=50)plt.grid(True)plt.xlabel('option inner value')plt.ylabel('frequency')

这里写图片描述

方法四：Numpy

对数欧拉方法计算蒙特卡洛估值(不使用任何循环实现蒙特卡洛估值计算)
公式３的对数版本:
　　　　
　　　　　 logSt=log⟮St−Δt+(r−12σ2)Δt+σΔt‾‾‾√zt⟯

才用递增方法，计算每个时间步数，指数水平增长的百分比(比例），最后在乘以S0

import numpy as npfrom time import time

# 计算的一些初始值S_0 = 100.0    # 股票或指数初始的价格;K = 105        #  行权价格T = 1.0        #  期权的到期年限(距离到期日时间间隔)r = 0.05       #   无风险利率sigma = 0.2    # 波动率(收益标准差)M = 50         # number of time stepsdt = T/M       # time entervalI = 20000       # number of simulation

np.random.seed(2000)start = time()# 生成一个随机变量的数组，M+1行，I列# 同时计算出没一条路径，每一个时间点的指数水平的增量# np.cumsum(axis=0)，在列的方向上进行累加得到每一个时间步数上的指数水平S = S_0 * np.exp(np.cumsum((r - 0.5*sigma **2) *dt +sigma *np.sqrt(dt) *np.random.standard_normal((M+1, I)),axis=0))S [0] = S_0C_0 = np.exp(-r * T) * np.sum(np.maximum(S[-1] - K, 0))/Iend = time()

print 'toatl time is %.6f seconds'%(end-start)print 'Europaen Option Value %.6f'%C_0

估值结果

toatl time is 0.156061 secondsEuropaen Option Value 8.113643

前２０条模拟路径

# 前２０条模拟路径import matplotlib.pyplot as plt%matplotlib inline plt.figure(figsize=(10,7))plt.grid(True)plt.xlabel('Time step')plt.ylabel('index level')plt.plot(S[:,:20])

这里写图片描述

模拟到期指数水平

# 到期时所有模拟指数水平的频率直方图import matplotlib.pyplot as plt%matplotlib inlineplt.hist(S[-1], bins=50)plt.grid(True)plt.xlabel('index level')plt.ylabel('frequency')

这里写图片描述

模拟到期期权内在价值

# 模拟期权到期日的内在价值%matplotlib inlineplt.hist(np.maximum(S[-1]-K, 0), bins=50)plt.grid(True)plt.xlabel('option inner value')plt.ylabel('frequency')

这里写图片描述

sum(S[-1] < K)    # 在两万次模拟中超过一万次到期期权内在价值为０

结果对比

１．Scipy，　估值结果：8.021352，耗时：0.001010s
２．Python，估值结果：8.159995，耗时：2.384639s
３．Numpy，估值结果：7.993282，耗时：0.166926s
４．Numpy，估值结果：8.113643，耗时：0.156061s
Scipy，用时最短是因为，沒有进行20000次的模拟估值．其他三个方法进行了20000次的模拟，基于Numpy的计算方法速度比较快．

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