组合数取模

组合数取模就是求的值，当然根据，和的取值范围不同，采取的方法也不一样。

下面学习三种求法，参考ACdreamer大神

1、当和时，这个问题比较简单，组合数的计算可以靠杨辉三角，那么由于和的范围小，直接两层循环即可。

代码：

void getc(){memset(C, 0, sizeof(C));C[0][0] = 1;for(int i = 1; i < maxn; i++){C[i][0] = 1;for(int j = 1; j < maxn; j++)C[i][j] = (C[i-1][j-1] + C[i-1][j]) % mod;}}

2、和，并且是素数

采用Lucas定理

补充两个结论：

结论1. Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p);

结论2. 把n写成p进制a[n]a[n-1]a[n-2]...a[0]，把m写成p进制b[n]b[n-1]b[n-2]...b[0]，则C(n,m)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*C(a[n-2],b[-2])*....*C(a[0],b[0])模p同余。

     所以如果

 

     

 

     那么得到

 

     

   

     这样然后分别求，采用逆元计算即可。

求，其中，并且是素数的代码：

#include <iostream>  #include <string.h>  #include <stdio.h>    using namespace std;  typedef long long LL;    LL n,m,p;    LL quick_mod(LL a, LL b)  {      LL ans = 1;      a %= p;      while(b)      {          if(b & 1)          {              ans = ans * a % p;              b--;          }          b >>= 1;          a = a * a % p;      }      return ans;  }    LL C(LL n, LL m)  {      if(m > n) return 0;      LL ans = 1;      for(int i=1; i<=m; i++)      {          LL a = (n + i - m) % p;          LL b = i % p;          ans = ans * (a * quick_mod(b, p-2) % p) % p;      }      return ans;  }    LL Lucas(LL n, LL m)  {      if(m == 0) return 1;      return C(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p) % p;  }    int main()  {      int T;      scanf("%d", &T);      while(T--)      {          scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &p);          printf("%I64d\n", Lucas(n,m));      }      return 0;  }  

如果p比较小，可以打表处理n！（将上面的C（）函数换成下面两个）

void init(){fac[0]=1;for(int i=1;i<=maxn;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;}ll C(ll n,ll m){if(n<m)return 0;return fac[n]*quickmod(fac[m]*fac[n-m],mod-2);}

3、和，并且可能为合数

对n和m分解质因数，然后用快速幂乘起来。

我们要求的是n!/(m! *(n-m)!),n!肯定可以整除(m! *(n-m)!)，所以后面两个有的因子，n!都有，只要将它们因子的指数相加减，然后快速幂相乘取模即可。

代码：

#include <iostream>  #include <string.h>  #include <stdio.h>    using namespace std;  typedef long long LL;  const int N = 200005;    bool prime[N];  int p[N];  int cnt;    void isprime()  {      cnt = 0;      memset(prime,true,sizeof(prime));      for(int i=2; i<N; i++)      {          if(prime[i])          {              p[cnt++] = i;              for(int j=i+i; j<N; j+=i)                  prime[j] = false;          }      }  }    LL quick_mod(LL a,LL b,LL m)  {      LL ans = 1;      a %= m;      while(b)      {          if(b & 1)          {              ans = ans * a % m;              b--;          }          b >>= 1;          a = a * a % m;      }      return ans;  }    LL Work(LL n,LL p)  {      LL ans = 0;      while(n)      {          ans += n / p;          n /= p;      }      return ans;  }    LL Solve(LL n,LL m,LL P)  {      LL ans = 1;      for(int i=0; i<cnt && p[i]<=n; i++)      {          LL x = Work(n, p[i]);          LL y = Work(n - m, p[i]);          LL z = Work(m, p[i]);          x -= (y + z);          ans *= quick_mod(p[i],x,P);          ans %= P;      }      return ans;  }    int main()  {      int T;      isprime();      cin>>T;      while(T--)      {          LL n,m,P;          cin>>n>>m>>P;          cout<<Solve(n,m,P)<<endl;      }      return 0;  }  

其中work这个函数的作用是求出某个质因数的指数，比如将200！进行质因数分解，求里面有几个5：
假设n=200，那么因子5的个数=200/5+40/5+8/5=49，怎么得到的呢？200中5的倍数有40个，这40个数中其中是25的倍数的有8个，所以还能分解出8个5，这8个数中还有一个是125的倍数，还能分解出一个5，就这样一直循环下去，就能求出指数的值。

（起初一直没明白work这个函数，看了http://blog.csdn.net/knight_kaka/article/details/24874743这篇文章后豁然开朗，感谢）

另外还有 n,m≤10^9,p≤10^5可能是合数，与第3种相比n和m比较大，这种情况暂且不写了，可以参考http://blog.csdn.net/aarongzk/article/details/50654358这篇文章。

例题以后再补上。