模板--Floyd Dijkstra Bellman-Ford spfa 四种最短路经典算法

来源：互联网发布：冰岛足球知乎编辑：程序博客网时间：2024/06/01 19:19

Floyd Dijkstra Bellman-Ford spfa 四种最短路经典算法汇总

最短路

Problem Description

在每年的校赛里，所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候，却是非常累的！所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线，你可以帮助他们吗？

Input

输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M（N<=100，M<=10000），N表示成都的大街上有几个路口，标号为1的路口是商店所在地，标号为N的路口是赛场所在地，M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行，每行包括3个整数A，B，C（1<=A,B<=N,1<=C<=1000）,表示在路口A与路口B之间有一条路，我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。
输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。

Output

对于每组输入，输出一行，表示工作人员从商店走到赛场的最短时间

Sample Input

2 11 2 33 31 2 52 3 53 1 20 0

Sample Output

具体算法思路见代码：

No. 1 Floyd

#include <bits/stdc++.h> #define endl "\n" #define inf 0x7fffffffusing namespace std;const int MAXN = 100 + 7;int n, m;int dis[MAXN][MAXN];void Init() {        for(int i = 0; i <= n; ++i) {                for(int j = 0; j <= n; ++j) {                        i == j ? dis[i][j] = 0 : dis[i][j] = inf;                }        }}int main(){        ios::sync_with_stdio(false);        while(cin >> n >> m) {                if(!n && !m) break;                Init();                int u, v, w;                for(int i = 1; i <= m; ++i) {                        cin >> u >> v >> w;                        dis[u][v] = min(w, dis[u][v]);                        dis[v][u] = min(w, dis[v][u]);                }                /**************************************                 *        Floyd O(n^3)                 *      三行情书, for 循环中i, j, k                 *      顺序不能变（k）                 *      本质是动态规划，枚举状态，转移                **************************************/                for(int k = 1; k <= n; ++k) {                        for(int i = 1; i <= n; ++i) {                                for(int j = 1; j <= n; ++j) {                                        if(dis[i][k] < inf && dis[k][j] < inf && dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j]) {                                                dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];                                        }                                }                        }                }                cout << dis[1][n] << endl;        }        return 0;}

No. 2 Dijkstra

/********************************************************** *           最短路Dijkstra算法  O(n^2) *   适用于求单源最短路，不适合带有负权的情形 *   算法思想：从原点出发，每次找一个源点能到达的最短路 *          径并找到该点将其标号，再从源点开始将所有 *          点的距离依照 *             dis[j] > dis[index] + gra[index][j] *          更新 *   基于：最短路的子路也一定是最短路 *********************************************************/ #include <bits/stdc++.h> #define endl "\n" #define inf 0x7ffffffusing namespace std;const int MAXN = 100 + 7;int n, m;int dis[MAXN], vis[MAXN], gra[MAXN][MAXN];void Init() {        for(int i = 0; i <= n; ++i) {                vis[i] = 0;                for(int j = 0; j <= n; ++j) {                        gra[i][j] = inf;                }        }}void Dijkstra(int u) {        int mindis = inf, index;        vis[u] = 1, dis[u] = 0;        for(int i = 1; i <= n; ++i) {                dis[i] = gra[u][i];        }        for(int i = 1; i <= n; ++i) {                mindis = inf;                for(int j = 1; j <= n; ++j) {                        if(!vis[j] && dis[j] < mindis) {                                mindis = dis[j];                                index = j;                        }                }                vis[index] = 1;                for(int j = 1; j <= n; ++j) {                        if(!vis[j] && dis[index] + gra[index][j] < dis[j]) {                                dis[j] = dis[index] + gra[index][j];                        }                }        }}int main(){        ios::sync_with_stdio(false);        while(cin >> n >> m) {                if(!n && !m) break;                Init();                int u, v, w;                for(int i = 0; i < m; ++i) {                        cin >> u >> v >> w;                        gra[u][v] = min(gra[u][v], w);                        gra[v][u] = min(gra[v][u], w);                }                Dijkstra(1);                cout << dis[n] << endl;        }        return 0;}

No. 3 Bellman-Ford

/******************************************************* *              Bellman-Ford  O(V*E) *      使用条件更广泛，可处理带环，负权，负环的问题 *          可求得单元最短路并求出路径反向输出 *      算法伪码： *      BELLMAN-FORD(G, w, s) *      1  INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s) *      2  for i ← 1 to |V[G]| - 1      // 最多n-1次松弛 *      3       do for each edge (u, v) ∈ E[G] *      4              do RELAX(u, v, w) *      5  for each edge (u, v) ∈ E[G] *      6       do if d[v] > d[u] + w(u, v) *      7             then return FALSE *      8  return TRUE *      算法思想： *      首先初始化所有dis[i] = inf *      对于每一条边e(u, v)， *      如果 *              dis[u] + w(u, v) < dis[v] *      则令 *              dis[v] = dis[u]+w(u, v) *      w(u, v)为边e(u,v)的权值； *      为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。 *      松弛完成后，对于每一条边e(u, v)，如果存在 *              dis[u] + w(u, v) < dis[v]的边， *      则图中存在负环路，即是说该图无法求出单源最短路径。 *      否则数组dis[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。 * *      PS：无向图可用反向建边的方式 * ******************************************************/ #include <bits/stdc++.h> #define endl "\n" #define inf 0x7fffffffusing namespace std;const int MAXN = 100 + 7;struct Edge {        int u, v, w;}edge[MAXN * MAXN * 2];int dis[MAXN], n, m;void Init() {        for(int i = 1; i <= 2*m; ++i) {                edge[i].w = inf;        }        for(int i = 0; i <= n; ++i) {               dis[i] = inf;        }}bool BellmanFord(int u) {        dis[u] = 0;        for(int i = 1; i < n; ++i) {                for(int j = 1; j <= 2*m; ++j) {                        if(dis[edge[j].u] < inf) {                                dis[edge[j].v] = min(dis[edge[j].v], dis[edge[j].u] + edge[j].w);                        }                }        }        bool flag = true;        for(int i = 1; i <= 2*m; ++i) {                if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].w) {                        flag = false;                        break;                }        }        return flag;}int main(){        ios::sync_with_stdio(false);        while(cin >> n >> m) {                if(!n && !m) break;                Init();                int u, v, w;                for(int i = 1; i <= m; ++i) {                        cin >> u >> v >> w;                        edge[i].u = u;                        edge[i].v = v;                        //cout << edge[i].w << endl;                        edge[i].w = min(w, edge[i].w);                        edge[i+m].u = v;                        edge[i+m].v = u;                        edge[i+m].w = min(w, edge[i+m].w);                }                BellmanFord(1);                cout << dis[n] << endl;        }        return 0;}

No. 4 Spfa (亦即优化的Bellman-Ford)

/******************************************************* *              spfa   O(k * E)  (k 一般 <= 2) *      算法思想：spfa其实就是改进的Bellman-Ford *          这里将由i发出的能直接到达的点存放在 *          link[i]里，用bfs进行松弛操作，将在队 *          列里面的点标记，每次将队首元素出列， *          根据link[v]遍历与v连接的点并进行松弛 *          操作，遍历完所有点后就得到了最短路（存在） *          再开一个cnt数组，cnt[i]表示i进入队列 *          的次数，当i>n时，存在负环，无最短路 * #define endl "\n" #define inf 0x7fffffff          // 注意inf的条件using namespace std;const int MAXN = 100 + 7;int gra[MAXN][MAXN], vis[MAXN], dis[MAXN], cnt[MAXN];vector< vector<int> > link(MAXN);     // link[i]中存由i能直接到达的点的编号int n, m;void Init() {        for(int i = 0; i < MAXN; ++i) { // 多重vector不能直接link.clear()                link[i].clear();        }        for(int i = 0; i <= n; ++i) {                dis[i] = inf;                cnt[i] = vis[i] = 0;        }        for(int i = 0; i <= n; ++i) {                for(int j = 0; j <= n; ++j) {                        i == j ? gra[i][j] = 0 : gra[i][j] = inf;                }        }}bool spfa(int u) {        dis[u] = 0;        cnt[u] = vis[u] =  1;             // vis代表在不在队列内        queue<int> q;        q.push(u);        while(!q.empty()) {                int v = q.front();                vis[v] = 0;     // 每次队首元素出队列就将vis[v]置零                q.pop();                for(int i = 0; i < link[v].size(); ++i) {       // 由v指向的所有点进行松弛操作                        if(dis[v] < inf && dis[link[v][i]] > dis[v] + gra[v][link[v][i]]) {                                dis[link[v][i]] = dis[v] + gra[v][link[v][i]];                                if(!vis[link[v][i]]) {                                        q.push(link[v][i]);                                        vis[link[v][i]] = 1;                                        cnt[link[v][i]]++;                                        if(cnt[link[v][i]] > n) return false;   // 存在负环                                }                        }                }        }        return true;}int main(){        ios::sync_with_stdio(false);        while(cin >> n >> m) {                if(!n && !m) break;                Init();                int u, v, w;                for(int i = 1; i <= m; ++i) {                        cin >> u >> v >> w;                        gra[u][v] = min(w, gra[u][v]);          // 无向图反向建边                        gra[v][u] = min(w, gra[v][u]);                        link[u].push_back(v);                        link[v].push_back(u);                }                spfa(1);                cout << dis[n] << endl;        }        return 0;}

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