排序算法时间复杂度、空间复杂度、稳定性比较

排序算法分类

排序算法比较表格填空

排序算法 平均时间复杂度 最坏时间复杂度 空间复杂度 是否稳定 冒泡排序 :————-: :—–: :—–: :—–: 选择排序 :————-: :—–: :—–: :—–: 直接插入排序 :————-: :—–: :—–: :—–: 归并排序 :————-: :—–: :—–: :—–: 快速排序 :————-: :—–: :—–: :—–: 堆排序 :————-: :—–: :—–: :—–: 希尔排序 :————-: :—–: :—–: :—–: 计数排序 :————-: :—–: :—–: :—–: 基数排序 :————-: :—–: :—–: :—–:

排序算法比较表格

排序算法 平均时间复杂度 最坏时间复杂度 空间复杂度 是否稳定 冒泡排序 O（n2） O（n2） O（1） 是 选择排序 O（n2） O（n2） O（1） 不是 直接插入排序 O（n2） O（n2） O（1） 是 归并排序 O(nlogn) O(nlogn) O（n） 是 快速排序 O(nlogn) O（n2） O（logn） 不是 堆排序 O(nlogn) O(nlogn) O（1） 不是 希尔排序 O(nlogn) O（ns） O（1） 不是 计数排序 O(n+k) O(n+k) O(n+k) 是 基数排序 O(N∗M) O(N∗M) O(M) 是

注：

1 归并排序可以通过手摇算法将空间复杂度降到O（1），但是时间复杂度会提高。

2 基数排序时间复杂度为O（N*M），其中N为数据个数，M为数据位数。

辅助记忆

• 时间复杂度记忆-
  
  • 冒泡、选择、直接 排序需要两个for循环，每次只关注一个元素，平均时间复杂度为O（n2）（一遍找元素O(n)，一遍找位置O(n)）
  • 快速、归并、希尔、堆基于二分思想，log以2为底，平均时间复杂度为O(nlogn)（一遍找元素O(n)，一遍找位置O(logn)）
• 稳定性记忆-“快希选堆”（快牺牲稳定性）
  
  • 排序算法的稳定性：排序前后相同元素的相对位置不变，则称排序算法是稳定的；否则排序算法是不稳定的。

原理理解

1 冒泡排序

1.1 过程

冒泡排序从小到大排序：一开始交换的区间为0~N-1，将第1个数和第2个数进行比较，前面大于后面，交换两个数，否则不交换。再比较第2个数和第三个数，前面大于后面，交换两个数否则不交换。依次进行，最大的数会放在数组最后的位置。然后将范围变为0~N-2，数组第二大的数会放在数组倒数第二的位置。依次进行整个交换过程，最后范围只剩一个数时数组即为有序。

1.2 动图

1.3 核心代码（函数）

//array[]为待排序数组，n为数组长度void BubbleSort(int array[], int n){    int i, j, k;    for(i=0; i<n-1; i++)        for(j=0; j<n-1-i; j++)        {            if(array[j]>array[j+1])            {                k=array[j];                array[j]=array[j+1];                array[j+1]=k;            }        }}

2 选择排序

2.1 过程

选择排序从小到大排序：一开始从0~n-1区间上选择一个最小值，将其放在位置0上，然后在1~n-1范围上选取最小值放在位置1上。重复过程直到剩下最后一个元素，数组即为有序。

2.2 动图

2.3 核心代码（函数）

//array[]为待排序数组，n为数组长度void selectSort(int array[], int n){    int i, j ,min ,k;    for( i=0; i<n-1; i++)    {        min=i; //每趟排序最小值先等于第一个数，遍历剩下的数        for( j=i+1; j<n; j++) //从i下一个数开始检查        {            if(array[min]>array[j])            {                min=j;            }        }        if(min!=i)        {            k=array[min];            array[min]=array[i];            array[i]=k;        }    }}

3 插入排序

3.1 过程

插入排序从小到大排序：首先位置1上的数和位置0上的数进行比较，如果位置1上的数大于位置0上的数，将位置0上的数向后移一位，将1插入到0位置，否则不处理。位置k上的数和之前的数依次进行比较，如果位置K上的数更大，将之前的数向后移位，最后将位置k上的数插入不满足条件点，反之不处理。

3.2 动图

3.3 核心代码（函数）

//array[]为待排序数组，n为数组长度void insertSort(int array[], int n){    int i,j,temp;    for( i=1;i<n;i++)    {        if(array[i]<array[i-1])        {            temp=array[i];            for( j=i;array[j-1]>temp;j--)            {                array[j]=array[j-1];            }            array[j]=temp;        }    }}

4 归并排序

4.1 过程

归并排序从小到大排序：首先让数组中的每一个数单独成为长度为1的区间，然后两两一组有序合并，得到长度为2的有序区间，依次进行，直到合成整个区间。

4.2 动图

4.3 核心代码（函数）

• 递归实现

////实现归并，并把数据都放在list1里面 void merging(int *list1, int list1_size, int *list2,  int list2_size){    int i=0, j=0, k=0, m=0;    int temp[MAXSIZE];    while(i < list1_size && j < list2_size)    {        if(list1[i]<list2[j])        {            temp[k++] = list1[i++];        }        else        {            temp[k++] = list2[j++];        }    }    while(i<list1_size)    {        temp[k++] = list1[i++];    }    while(j<list2_size)    {        temp[k++] = list2[j++];    }    for(m=0; m < (list1_size+list2_size); m++)    {        list1[m]=temp[m];    }}//如果有剩下的，那么说明就是它是比前面的数组都大的，直接加入就可以了 void mergeSort(int array[], int n){    if(n>1)    {        int *list1 = array;        int list1_size = n/2;        int *list2 = array + n/2;        int list2_size = n-list1_size;        mergeSort(list1, list1_size);        mergeSort(list2, list2_size);        merging(list1, list1_size, list2, list2_size);    }}//归并排序复杂度分析：一趟归并需要将待排序列中的所有记录  //扫描一遍，因此耗费时间为O(n),而由完全二叉树的深度可知，  //整个归并排序需要进行[log2n],因此，总的时间复杂度为  //O(nlogn),而且这是归并排序算法中平均的时间性能  //空间复杂度：由于归并过程中需要与原始记录序列同样数量级的  //存储空间去存放归并结果及递归深度为log2N的栈空间，因此空间  //复杂度为O(n+logN)  //也就是说，归并排序是一种比较占内存，但却效率高且稳定的算法 

• 迭代实现

void MergeSort(int k[],int n)  {      int i,next,left_min,left_max,right_min,right_max;      //动态申请一个与原来数组一样大小的空间用来存储    int *temp = (int *)malloc(n * sizeof(int));      //逐级上升，第一次比较2个，第二次比较4个，第三次比较8个。。。      for(i=1; i<n; i*=2)      {          //每次都从0开始，数组的头元素开始          for(left_min=0; left_min<n-i; left_min = right_max)          {              right_min = left_max = left_min + i;              right_max = left_max + i;              //右边的下标最大值只能为n              if(right_max>n)              {                  right_max = n;              }              //next是用来标志temp数组下标的，由于每次数据都有返回到K，              //故每次开始得重新置零              next = 0;              //如果左边的数据还没达到分割线且右边的数组没到达分割线，开始循环              while(left_min<left_max&&right_min<right_max)              {                  if(k[left_min] < k[right_min])                  {                      temp[next++] = k[left_min++];                  }                  else                  {                      temp[next++] = k[right_min++];                  }              }              //上面循环结束的条件有两个，如果是左边的游标尚未到达，那么需要把              //数组接回去，可能会有疑问，那如果右边的没到达呢，其实模拟一下就可以              //知道，如果右边没到达，那么说明右边的数据比较大，这时也就不用移动位置了              while(left_min < left_max)              {                  //如果left_min小于left_max，说明现在左边的数据比较大                  //直接把它们接到数组的min之前就行                  k[--right_min] = k[--left_max];               }              while(next>0)              {                  //把排好序的那部分数组返回该k                  k[--right_min] = temp[--next];                    }          }      }  }  //非递归的方法，避免了递归时深度为log2N的栈空间，//空间只是用到归并临时申请的跟原来数组一样大小的空间，并且在时间性能上也有一定的提升，//因此，使用归并排序是，尽量考虑用非递归的方法。

5 快速排序

5.1 过程

快速排序从小到大排序：在数组中随机选一个数（默认数组首个元素），数组中小于等于此数的放在左边，大于此数的放在右边，再对数组两边递归调用快速排序，重复这个过程。

5.2 动图

5.3 核心代码（函数）

推荐程序（好理解）

//接口调整void adjust_quicksort(int k[],int n)  {     quicksort(k,0,n-1);  }  void quicksort(int a[], int left, int right)  {      int i,j,t,temp;      if(left>right)   //（递归过程先写结束条件）       return;      temp=a[left]; //temp中存的就是基准数      i=left;      j=right;      while(i!=j)      {                     //顺序很重要，要先从右边开始找（最后交换基准时换过去的数要保证比基准小，因为基准                                                  //选取数组第一个数，在小数堆中）                    while(a[j]>=temp && i<j)                              j--;                     //再找右边的                     while(a[i]<=temp && i<j)                              i++;                     //交换两个数在数组中的位置                     if(i<j)                     {                              t=a[i];                              a[i]=a[j];                              a[j]=t;                     }      }      //最终将基准数归位 （之前已经temp=a[left]过了，交换只需要再进行两步）    a[left]=a[i];      a[i]=temp;      quicksort(left,i-1);//继续处理左边的，这里是一个递归的过程      quicksort(i+1,right);//继续处理右边的 ，这里是一个递归的过程  }  

6 堆排序

6.1 过程

堆排序从小到大排序：首先将数组元素建成大小为n的大顶堆，堆顶（数组第一个元素）是所有元素中的最大值，将堆顶元素和数组最后一个元素进行交换，再将除了最后一个数的n-1个元素建立成大顶堆，再将最大元素和数组倒数第二个元素进行交换，重复直至堆大小减为1。

• 注：完全二叉树
  假设二叉树深度为n，除了第n层外，n-1层节点都有两个孩子，第n层节点连续从左到右。如下图
  

• 注：大顶堆
  大顶堆是具有以下性质的完全二叉树：每个节点的值都大于或等于其左右孩子节点的值。
  即，根节点是堆中最大的值，按照层序遍历给节点从1开始编号，则节点之间满足如下关系：
  (1<=i<=n/2)

6.2 动图

6.3 核心代码（函数）

注意！！！数组从1开始，1~n

void heapSort(int array[], int n){    int i;    for (i=n/2;i>0;i--)    {        HeapAdjust(array,i,n);//从下向上，从右向左调整    }    for( i=n;i>1;i--)    {        swap(array, 1, i);        HeapAdjust(array, 1, i-1);//从上到下，从左向右调整    }}void HeapAdjust(int array[], int s, int n ){    int i,temp;    temp = array[s];    for(i=2*s;i<=n;i*=2)    {        if(i<n&&array[i]<array[i+1])        {            i++;        }        if(temp>=array[i])        {            break;        }        array[s]=array[i];        s=i;    }    array[s]=temp;}void swap(int array[], int i, int j){    int temp;    temp=array[i];    array[i]=array[j];    array[j]=temp;}

7 希尔排序

7.1 过程

希尔排序是插入排序改良的算法，希尔排序步长从大到小调整，第一次循环后面元素逐个和前面元素按间隔步长进行比较并交换，直至步长为1，步长选择是关键。

7.2 动图

7.3 核心程序（函数）

//下面是插入排序void InsertSort( int array[], int n){    int i,j,temp;    for( i=0;i<n;i++ )    {        if(array[i]<array[i-1])        {            temp=array[i];            for( j=i-1;array[j]>temp;j--)            {                array[j+1]=array[j];            }            array[j+1]=temp;        }    }}//在插入排序基础上修改得到希尔排序void SheelSort( int array[], int n){    int i,j,temp;    int gap=n; //~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~    do{        gap=gap/3+1;  //~~~~~~~~~~~~~~~~~~        for( i=gap;i<n;i++ )        {            if(array[i]<array[i-gap])            {                temp=array[i];                for( j=i-gap;array[j]>temp;j-=gap)                {                    array[j+gap]=array[j];                }                array[j+gap]=temp;            }        }    }while(gap>1);  //~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}

8 桶排序（基数排序和基数排序的思想）

8.1 过程

桶排序是计数排序的变种，把计数排序中相邻的m个”小桶”放到一个”大桶”中，在分完桶后，对每个桶进行排序（一般用快排），然后合并成最后的结果。

8.2 图解

8.3 核心程序

#include <stdio.h>int main(){    int a[11],i,j,t;    for(i=0;i<=10;i++)        a[i]=0;  //初始化为0    for(i=1;i<=5;i++)  //循环读入5个数    {        scanf("%d",&t);  //把每一个数读到变量t中        a[t]++;  //进行计数(核心行)    }    for(i=0;i<=10;i++)  //依次判断a[0]~a[10]        for(j=1;j<=a[i];j++)  //出现了几次就打印几次            printf("%d ",i);    getchar();getchar();     //这里的getchar();用来暂停程序，以便查看程序输出的内容    //也可以用system("pause");等来代替    return 0;}

9 计数排序

9.1 过程

算法的步骤如下：
- 找出待排序的数组中最大和最小的元素
- 统计数组中每个值为i的元素出现的次数，存入数组C的第i项
- 对所有的计数累加（从C中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）
- 反向填充目标数组：将每个元素i放在新数组的第C(i)项，每放一个元素就将C(i)减去1

9.2 图解

9.3 核心程序（函数）

程序1：#define NUM_RANGE (100)    //预定义数据范围上限，即K的值void counting_sort(int *ini_arr, int *sorted_arr, int n)  //所需空间为 2*n+k{         int *count_arr = (int *)malloc(sizeof(int) * NUM_RANGE);         int i, j, k;         //初始化统计数组元素为值为零        for(k=0; k<NUM_RANGE; k++){                 count_arr[k] = 0;         }         //统计数组中，每个元素出现的次数           for(i=0; i<n; i++){                 count_arr[ini_arr[i]]++;         }         //统计数组计数，每项存前N项和，这实质为排序过程       for(k=1; k<NUM_RANGE; k++){                 count_arr[k] += count_arr[k-1];         }         //将计数排序结果转化为数组元素的真实排序结果       for(j=n-1 ; j>=0; j--){             int elem = ini_arr[j];          //取待排序元素           int index = count_arr[elem]-1;  //待排序元素在有序数组中的序号           sorted_arr[index] = elem;       //将待排序元素存入结果数组中           count_arr[elem]--;              //修正排序结果，其实是针对算得元素的修正       }         free(count_arr);  }  程序2：C++(最大最小压缩桶数)public static void countSort(int[] arr) {        if (arr == null || arr.length < 2) {            return;        }        int min = arr[0];        int max = arr[0];        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {            min = Math.min(arr[i], min);            max = Math.max(arr[i], max);        }        int[] countArr = new int[max - min + 1];        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {            countArr[arr[i] - min]++;        }        int index = 0;        for (int i = 0; i < countArr.length; i++) {            while (countArr[i]-- > 0) {                arr[index++] = i + min;        }}

10 基数排序

10.1 过程

基数排序是基于数据位数的一种排序算法。
它有两种算法
①LSD–Least Significant Digit first 从低位（个位）向高位排。
②MSD– Most Significant Digit first 从高位向低位（个位）排。
时间复杂度O(N*最大位数)。
空间复杂度O(N)。

10.2 图解

对a[n]按照个位0~9进行桶排序：

对b[n]进行累加得到c[n]，用于b[n]中重复元素计数
！！！b[n]中的元素为temp中的位置！！！跳跃的用++补上：

temp数组为排序后的数组，写回a[n]。temp为按顺序倒出桶中的数据（联合b[n],c[n],a[n]得到），重复元素按顺序输出：

10.3 核心程序

//基数排序  //LSD  先以低位排，再以高位排  //MSD  先以高位排，再以低位排  void LSDSort(int *a, int n)  {      assert(a);  //判断a是否为空，也可以a为空||n<2返回    int digit = 0;   //最大位数初始化    for (int i = 0; i < n; ++i)      {   //求最大位数        while (a[i] > (pow(10,digit)))  //pow函数要包含头文件math.h，pow(10,digit)=10^digit        {              digit++;          }      }      int flag = 1;   //位数    for (int j = 1; j <= digit; ++j)      {          //建立数组统计每个位出现数据次数（Digit[n]为桶排序b[n]）          int Digit[10] = { 0 };          for (int i = 0; i < n; ++i)          {              Digit[(a[i] / flag)%10]++;  //flag=1时为按个位桶排序        }           //建立数组统计起始下标（BeginIndex[n]为个数累加c[n]，用于记录重复元素位置         //flag=1时，下标代表个位数值，数值代表位置，跳跃代表重复）        int BeginIndex[10] = { 0 };          for (int i = 1; i < 10; ++i)          {              //累加个数            BeginIndex[i] = BeginIndex[i - 1] + Digit[i - 1];          }          //建立辅助空间进行排序         //下面两条可以用calloc函数实现        int *tmp = new int[n];          memset(tmp, 0, sizeof(int)*n);//初始化          //联合各数组求排序后的位置存在temp中        for (int i = 0; i < n; ++i)          {              int index = (a[i] / flag)%10;  //桶排序和位置数组中的下标            //计算temp相应位置对应a[i]中的元素，++为BeginIndex数组数值加1            //跳跃间隔用++来补，先用再++            tmp[BeginIndex[index]++] = a[i];          }          //将数据重新写回原空间          for (int i = 0; i < n; ++i)          {              a[i] = tmp[i];          }          flag = flag * 10;          delete[] tmp;      }  }  

附：

1 完整程序框架（冒泡排序举例）

1.1 VS2010程序

#include "stdafx.h"#include "stdio.h"#include <stdlib.h>void BubbleSort(int array[], int n){    int i,j,k,count1=0, count2=0;    for(i=0; i<n-1; i++)        for(j=n-1; j>i; j--)        {            count1++;            if(array[j-1]>array[j])            {                count2++;                k=array[j-1];                array[j-1]=array[j];                array[j]=k;            }        }    printf("总共的循环次序为：%d,  总共的交换次序为：%d\n\n", count1, count2);}int main(int argc, _TCHAR* argv[]){    int as[]={0,1,2,3,4,6,8,5,9,7};    BubbleSort(as, 10);    for(int i=0; i<10; i++)    {        printf("%d", as[i]);    }    printf("\n\n");    system("pause");    return 0;}

1.2 执行程序（OJ）

#include <stdio.h>void BubbleSort(int array[], int n){    int i,j,k,count1=0, count2=0;    for(i=0; i<n-1; i++)        for(j=n-1; j>i; j--)        {            count1++;            if(array[j-1]>array[j])            {                count2++;                k=array[j-1];                array[j-1]=array[j];                array[j]=k;            }        }    printf("总共的循环次序为：%d,  总共的交换次序为：%d\n\n", count1, count2);}int main(){    int as[]={0,1,2,3,4,6,8,5,9,7};    BubbleSort(as, 10);    int i=0;    for(i=0; i<10; i++)    {        printf("%d", as[i]);    }    return 0;}

2 关于交换的优化

不用中间变量进行交换

if(A[j] <= A[i]){    A[j] = A[j] + A[i];    A[i] = A[j] - A[i];    A[j] = A[j] - A[i];}

3 C语言实现数组动态输入

#include <stdio.h>  #include <assert.h>  //断言头文件#include <stdlib.h>  int main(int argc, char const *argv[])  {      int size = 0;      scanf("%d", &size);   //首先输入数组个数    assert(size > 0);     //判断数组个数是否非法    int *array = (int *)calloc(size, sizeof(int));  //动态分配数组    if(!R1)      {          return;           //申请空间失败      }      int i = 0;      for (i = 0; i < size; ++i) {          scanf("%d", &array[i]);      }      mergeSort(array, size);      printArray(array, size);      free(array);      return 0;  } 

注：
1.colloc与malloc类似,但是主要的区别是存储在已分配的内存空间中的值默认为0,使用malloc时,已分配的内存中可以是任意的值.
2.colloc需要两个参数,第一个是需要分配内存的变量的个数,第二个是每个变量的大小.