高斯消元学习总结

算法目的

主要是用来求解线性方程组，根据方程组得出增广矩阵，对增广矩阵进行化简可得矩阵的秩，并可以根据秩的关系判断方程解的情况。

算法主要思想

1、线性代数中有关矩阵的化简（主要是初等行变换）：
先根据矩阵初等行变换求解方程组

2x+y+z=16x+2y+z=−1−2x+2y+z=7

先根据方程组表示出增广矩阵，化简
⎡⎣⎢⎢26−21221111−17⎤⎦⎥⎥ ——>(R2-R1*3，R3+R1) ⎡⎣⎢⎢2001−131−221−48⎤⎦⎥⎥ ——>(R3+R2*3)⎡⎣⎢⎢2001−101−2−41−4−4⎤⎦⎥⎥
此时增广矩阵已经化简为上三角矩阵，接下来便是回代过程
R3/(-4)——> ⎡⎣⎢⎢2001−101−211−41⎤⎦⎥⎥ ——>R2+2*R3⎡⎣⎢⎢2001−101011−21⎤⎦⎥⎥ ——>(R2*(-1)) ⎡⎣⎢⎢200110101121⎤⎦⎥⎥ ——>（R1-R3，R1-R2）⎡⎣⎢⎢200010001−221⎤⎦⎥⎥ ——>(R1/2)⎡⎣⎢⎢100010001−121⎤⎦⎥⎥
因此可得：x=-1,y=2,z=1。
2、高斯消元即为模拟上述步骤，即由增广矩阵进行消元，将每个方程都枚举完毕（矩阵初等行变换），然后回代，直至化简到所能得到最大的上三角（行阶梯矩阵）。
3、判断解的情况：
a) 当化简后增广矩阵的秩等于原矩阵的秩且等于 n 时（即化简后为绝对的上三角），有唯一解；
b) 当化简后增广矩阵的秩等于原矩阵的秩且小于 n 时，有多组解；
c) 当化简后增广矩阵的秩与原矩阵的秩不相等时（增广矩阵化简后存在（0，0，0,……，a）的情况），无解。

求解问题类型

1、直接找出关系列方程组求解
POJ 2065 SETI

2、开关问题
主要是转化为求解异或方程组
POJ 1222 EXTENDED LIGHTS OUT
POJ 1681 Painter’s Problem
POJ 1830 开关问题

3、解模线性方程组
根据题意需要，在消元运算的过程中需要对一个数p进行取模
POJ 2947 Widget Factory

4、在求期望概率时，可以转化为线性方程组求解
山东省第五届ACM省赛Circle

（后续完善）

目前模板

（from kuangbin）(有些许注释由个人理解补充)

#include<stdio.h>#include<algorithm>#include<iostream>#include<string.h>#include<math.h>using namespace std;const int MAXN=50;int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵int x[MAXN];//解集bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元inline int gcd(int a,int b){    int t;    while(b!=0)    {        t=b;        b=a%b;        a=t;    }    return a;}inline int lcm(int a,int b){    return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出}// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.int Gauss(int equ,int var){    int i,j,k;    int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.    int col;//当前处理的列    int ta,tb;    int LCM;    int temp;    int free_x_num;    int free_index;    for(int i=0; i<=var; i++)    {        x[i]=0;        free_x[i]=true;    }    //转换为阶梯阵.    col=0; // 当前处理的列    for(k = 0; k < equ && col < var; k++,col++)    {        // 枚举当前处理的行.// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)        max_r=k;        for(i=k+1; i<equ; i++)        {            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;        }        if(max_r!=k)        {            // 与第k行交换.            for(j=k; j<var+1; j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);        }        if(a[k][col]==0)        {            // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.            k--;            continue;        }        for(i=k+1; i<equ; i++)        {            // 枚举要删去的行.            if(a[i][col]!=0)            {                LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));                ta = LCM/abs(a[i][col]);                tb = LCM/abs(a[k][col]);                if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;    //异号的情况是相加                for(j=col; j<var+1; j++)                {                    a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;                }            }        }    }    // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).    for (i = k; i < equ; i++)    {        // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.        if (a[i][col] != 0) return -1;    }    // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.    // 且出现的行数即为自由变元的个数.    if (k < var)    {        // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.        for (i = k - 1; i >= 0; i--)        {            // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.            // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.            free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.            for (j = 0; j < var; j++)            {                if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;            }            if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.            // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.            temp = a[i][var];            for (j = 0; j < var; j++)            {                if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];            }            x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.            free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.        }        return var - k; // 自由变元有var - k个.    }    // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.    // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.    for (i = var - 1; i >= 0; i--)    {        temp = a[i][var];        for (j = i + 1; j < var; j++)        {            if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];    //--因为x[i]存的是temp/a[i][i]的值，即是a[i][i]=1时x[i]对应的值        }        if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.        x[i] = temp / a[i][i];    }    return 0;}int main(void){    freopen("in.txt", "r", stdin);    freopen("out.txt","w",stdout);    int i, j;    int equ,var;    while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)    {        memset(a, 0, sizeof(a));        for (i = 0; i < equ; i++)        {            for (j = 0; j < var + 1; j++)            {                scanf("%d", &a[i][j]);            }        }        int free_num = Gauss(equ,var);        if (free_num == -1) printf("无解!\n");        else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");        else if (free_num > 0)        {            printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);            for (i = 0; i < var; i++)            {                if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);                else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);            }        }        else        {            for (i = 0; i < var; i++)            {                printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);            }        }        printf("\n");    }    return 0;}

写在后面：越来越觉得遗忘是一件变得可怕的事情，以前刻意的去忘记一些东西，后来记忆力变差了什么都能忘记。开始想着ACM自己最后能留下的会是什么……应该怎样去做的更好一些