[笔记]随手写写画画(1)

本文是Jesse Chen的随手涂鸦。

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已知：

H\left(z\right)=\sum_{k=0}^{M-1}h\left(k\right)z^{-k}\label{dd}\tag{1}

补充条件：

h\left(n\right)=\pm h\left(M-1-n\right),\quad n=0,1,\cdots,M-1\label{aa}\tag{2}

随笔如下：

首先按照M为偶数还是奇数，讨论公式2。当M为偶数时，

\begin{aligned}
h\left(0\right)  &= \pm h\left(M-1\right) \\
h\left(1\right)  &= \pm h\left(M-2\right)  \\
h\left(2\right) &= \pm h\left(M-3\right)  \\
&\cdots\\
h\left(\frac{M-2}{2}\right) &= \pm h\left(\frac{M}{2}\right)
\end{aligned}\label{bb}\tag{3}

共有M2−1对等式关系。

当M为奇数时，

\begin{aligned}
h\left(0\right)  &= \pm h\left(M-1\right) \\
h\left(1\right)  &= \pm h\left(M-2\right)  \Longleftrightarrow  h\left(1\right)  = \pm h\left(M-1-1\right)\\
h\left(2\right) &= \pm h\left(M-3\right)  \Longleftrightarrow  h\left(1\right)  =  \pm h\left(M-1-2\right)\\
&\cdots\\
h\left(\frac{M-3}{2}\right) &= \pm h\left(\frac{M+1}{2}\right)\Longleftrightarrow  h\left(\frac{M-3}{2}\right)  = \pm h\left(M-1-\frac{M-3}{2}\right)
\end{aligned}\label{cc}\tag{4}

共有M+12对等式关系。注意：h(n)=±h(M−1−n)取负号蕴含h(M−12)=0。

当M为偶数时，由1和3可以得到：

H(z)=z−(M−1)2∑n=0M2−1h(n)[z(M−1−2n)2±z−(M−1−2n)2](5)

当M为奇数时，由1和4可以得到：

H(z)=z−(M−1)2⎧⎩⎨⎪⎪h(M−12)+∑n=0(M−3)2h(n)[z(M−1−2n)2±z−(M−1−2n)2]⎫⎭⎬⎪⎪(6)

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当h(n)=h(M−1−n)，M为偶数时，

H(ω)=H(z)|z=ejω=e−jω(M−1)2∑n=0M2−1h(n)[ej(M−1−2n)ω2+e−j(M−1−2n)ω2]=2e−jω(M−1)2∑n=0M2−1h(n)cosω(M−12−n)(7)

当h(n)=−h(M−1−n)，M为偶数时，

H(ω)=H(z)|z=ejω=e−jω(M−1)2∑n=0M2−1h(n)[ej(M−1−2n)ω2−e−j(M−1−2n)ω2]=−2je−jω(M−1)2∑n=0M2−1h(n)sinω(M−12−n)(8)

当h(n)=h(M−1−n)，M为奇数时,

H(ω)=H(z)|z=ejω=e−jω(M−1)2⎧⎩⎨⎪⎪h(M−12)+∑n=0M−32h(n)[ejω(M−1−2n)2+e−jω(M−1−2n)2]⎫⎭⎬⎪⎪=e−jω(M−1)2⎧⎩⎨⎪⎪h(M−12)+2∑n=0M−32h(n)cosω(M−12−n)⎫⎭⎬⎪⎪(9)

当h(n)=−h(M−1−n)，M为奇数时,

H(ω)=H(z)|z=ejω=e−jω(M−1)2∑n=0M−32h(n)[ejω(M−1−2n)2+e−jω(M−1−2n)2]=−2je−jω(M−1)2∑n=0M−32h(n)sinω(M−12−n)(10)