L1相较于L2的稀疏性

在机器学习中，常见的正则化项有L1（L=∑|w|）和L2(L=||w||2)，并且也经常会看到L1相较于L2有较高的稀疏性，虽然记住了这句话的内容，但总是不理解其具体含义，也不理解为何又稀疏性，在研究了一番后，有了一些理解，因此分享给大家。
（本文部分内容和图片引用自：https://www.zhihu.com/question/37096933?sort=created）

什么是稀疏性

相信大家都听过一个名词——稀疏矩阵，在矩阵中，若数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目时，则称该矩阵为稀疏矩阵；与之相反，若非0元素数目占大多数时，则称该矩阵为稠密矩阵.
在矩阵中，如果矩阵元素0的数目非常多，则可以称之为稀疏矩阵。同理，L1的稀疏性，指的就是在加了L1正则项后，模型的解w，有很多分量都是0。

为何L1相较于L2能够得到稀疏解

首先，用几张图片来大致解释一下L1的稀疏性。
假设，我们有个Loss函数，L0=f(w)，其特征是一维，大致的loss曲线如下图：

可以发现极小值是在图中的绿色点处，w=0处并不是最优解。

在分别加了L1正则项和L2正则项后，他们的曲线图如下：

其中蓝色的是加了L2正则项的loss曲线（L2=f(w)+ηw2），粉红色的是加了L1正则项的loss曲线（L1=f(w)+η|w|）。
观察图中曲线可以发现，加了L2正则项后，极小值处的解变小了，这说明正则项起到了效果，但是最优解是接近0但不等于0的值，因此不是稀疏解。而加了L1正则项后，极小值的解变为了0，因此L1相较于L2具有稀疏性。

事实上，两种正则化能不能把最优的w变成 0，取决于原先的loss函数在 0 点处的导数。如果本来导数不为 0，那么施加 L2 后导数依然不为 0，最优的 w 也不会变成 0。而施加 L1 时，只要 L1 项的系数 η 大于原先loss函数在 0 点处的导数的绝对值，w = 0 就会变成一个极小值点。

那么为何只要η大于loss的导数的绝对值，0就是一个极小值点呢？
下面从理论的角度来分析一下：
对于L1=f(w)+η|w|也即是L1=L0+η|w|求导可以得到如下：

∂L1∂w=∂L0∂w+ηsign(w)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪∂L0∂w+η,w>0∂L0∂w−η,w<0

当w>0时，只要∂L0∂w+η>0，则函数单调递增，因此在w=0处最小。
当w<0时，只要∂L0∂w−η<0，则函数单调递减，因此在w=0处最小。
故，只要η 大于原先loss函数在 0 点处的导数的绝对值，那么w=0处就是一个极小值点。