素数筛选

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第一种：剔除2 3 4 5 6 ... ... 的倍数

在i从2开始的增一变化过程中，剔除i的倍数即j*i（j是大于等于2的自然数，j的上限是问题规模M）
为了减少重复步骤，可以每当i递增到等于第一个没有被剔除的（素）数时再剔除该数的倍数，
重复上述过程至i到达问题规模m的平方根+1

需要说明的三个问题：
假设循环到第n个数，如果该数没有被剔除，那么该数不能是前边所有数的倍数，该数更不可能是后边数的倍数，该

数就是素数。
如果该数是合数却没被剔除，那么该数能分解为两个小于该数的数的积的形式，而前边剔除的数包含了所有小于该

数的数之间的积，这是矛盾的。

为什么筛选循环的第一层只循环至问题规模m的平方根+1
因为，对于一个数m，所有大于该数平方根的数的积已经大于该数了，再剔除下去只是多余。

为什么筛选循环的第二层只循环至MAX/i？
因为此时j*MAX/i就等于MAX，此时需要标记为错误的数已经到了问题的规模即MAX，没有必要在标记比MAX大的值不

是素数，此外用来标记i*j不是素数的数组只有MAX+1的容量，这样做是向不是自己申请的内存空间里写数据，是危

险的。

[cpp] view plain copy
<span style="font-size:13px;">#include <iostream>  
#include <cstdlib>  
#include <cmath>  
using namespace std;  
const int MAX=1000;  
  
int main()  
{  
     int i=0,j=0,n=sqrt(MAX)+1;  
     int a[MAX+1]={0};  
  
     for(i=2;i<=n;i++)  //筛选循环  
       for(j=2;j<=MAX/i;j++)  
           a[j*i]=1;  
  
        
     for(i=2;i<=MAX;i++)  
        if(a[i]==0)  
        {  
          cout.width(7);  
          cout<<i<<" ";  
        }  
     system("pause");  
     return 0;  
       
}  
</span>  

用a[i*j]来标记i*j不是素数，这一个相对来说比较容易想到

再来看看下一个(第二种，稍作了优化)

[cpp] view plain copy
<span style="font-size:13px;">#include<stdio.h>  
#include<math.h>  
#define MAX_P  500  
int nList[MAX_P] = {0};  
void Calc()   
{  
    int n,p,t,sq=(int)sqrt(MAX_P*2+1);  
    for (n=3;n<=sq;n+=2)  
    {  
        if (nList[n>>1]) continue;  
        for (t=n*n;t<=MAX_P<<1;t+=n<<1) //筛选循环  
            nList[t>>1] = 1;  
    }  
    printf("%5d", 2);  
    for (n=t=1;t<MAX_P;++t)  
    {  
        if (nList[t]) continue;  
        printf("%5d", (t<<1)+1);  
        if (++n==10)  
        {  
            printf("\n");  
            n=0;  
        }  
    }  
}  
int main(void)  
{  
    Calc();  
    getchar();  
    return  0;  
}</span>  

这个程序的方法是通过排除3 5 7 9 11 ... ...中的素数n的奇数倍来排除素数的
用数组nList中的第[t/2]个元素的值（取1)来标记t不是素数。

1、为什么是奇数的倍数？
首先我们假设这个算法是正确的。由于素数除了2都是奇数，那么每次送入筛选循环的n值都是奇数，排除t时t的递

增表达式可写为
for（int i=0；i<MAX_P/2;i++）
t=n*（n+2i）
n是奇数n+2i也是奇数。这与算法的思想是一致的。

2、为什么3 5 7 9 11 ... ...中的素数n的倍数（奇数）要从n开始？

就是说从1开始和从n开始的效果是一样，或者说n以前的奇数乘n都可以等于n以前（比n小的）素数的更大（比n大的

）奇数倍数。由于n是奇数，可以设n以前（比n小的）的奇数为n-2i，比n大的奇数为n+2j；那么我们的任务就是，

证明n*（n-2i）可以等于m*（n+2j），其中m为小于n的素数，i、j都是正整数。即n（n-m）=2mj+2ni。这有变成证

明n-m是偶数，这是显然的，两个奇数之差必然是偶数。

3、为什么筛选循环剔除了所有的非素数？

不管该算法正确与否，3 5 7 9 11 ... ...中的任意n的奇数倍都排除了某些合数。
首先我们假设n循环至某个n时，为合数却没有剔除，那么n可以分解因数为多个素数且是奇数（由于n是从3开始的奇

数）的积，当然也可表示为一个素数a与一个奇数b的积的形式，那么这个a必然是小于n的素数。这个素数的奇数倍

就必然在前次循环中排除了。这与没有被剔除矛盾。所以该算法正确

最后我们来看看，第三种

[cpp] view plain copy
<span style="font-size:13px;">#define MAX_N 1000  
int a[MAX_N+1];  
int p[MAX_N+1];  
int nCount=0;  
  
void Init(int n) //线性筛法，不过在小范围上(约n<1e7)不比上一个方法快  
{  
    for (int i=2;i<=n;i++)  
    {  
        if (a[i]==0)  
        {  
            p[++nCount]=i;  
        }  
        for (int j=1,k; (j<=nCount) && (k=i*p[j])<=n; j++) //筛选循环  
        {  
            a[k] = 1 ;  
            if (i%p[j] == 0) break;  
        }  
    }  
}  
  
#include <iostream>  
int main(void)  
{  
    Init(MAX_N);  
    for(int n=1; p[n]>1; ++n)  
    {  
        printf("%5d", p[n]);  
    }  
    return 0;  
}</span>  

这一种可以说是对前种算法的直接变形
用a[k]=1来标记k不是素数
第一种是用筛选出来的正确的数（即素数）的倍数剔除合数

第二种是用2到n乘筛选出正确的数，即素数

如果你不以为然，我可以把for (n=3;n<=sq;n+=2)该为（n=3;n<sq;n++）
着就和第一种算法接近了一些，既然第一中和第二中被证明是正确的，那么这一种就也是正确的。
如果能够证明if (i%p[j] == 0) break;这一句添加进去是合理的

这句可解释为当i第一次成为所挑选出来的正确的素数递增序列的某个数（设为n）的整数倍时，就没有必要让i在去

乘递增素数序列里的比n大的素数，这又可以等价于 i乘比n大的合适的素数（设为max）可以等于比i大的整数（设

为j）乘比n小的素数（设为min），且这个j不是m的整数倍，即i*max=j*min；
又可以等价与j=i*max/min是一个不是min倍数的整数，根据以前做因式分解的经验一个整数必然能分解为一个递增

的素数序列的积，如果我们假设i*max是这么一个整数，max是因数递增序列中稍大的素数，则min只要是递增序列中

小于max的素数，就能使j为整数，很显然min包含于所有小于max的素数中，自然j是个整数，
又由于i不是max的倍数，max又不是min的倍数（如果是，max是素数吗？）那么i必然是min的倍数，又i是第一次成

为所挑选出来的正确的素数递增序列的某个数（设为n）的整数倍，i必然不是min平方的倍数，即i/min不是min的倍

数，i/min*max也不是min的倍数
至此就证明了if (i%p[j] == 0) break;这一句添加进去是合理的

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