计算几何基础提纲

 一、约定格式

a)         点、向量的表示

b)         封装向量加减法、点积、叉积

double mult(struct point p1,struct point p2,struct point p3)  {      return (p2.x-p1.x)*(p3.y-p1.y)-(p2.y-p1.y)*(p3.x-p1.x);  }  double dis(struct point p1,struct point p2)  {      return (p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y);  }  

c) 线段——>(两个点隔得很远，取值很大)直线

矩形——>平面

二、点定位

a)         判断点是否在线段上

                           i.               通过叉乘为零判断点在直线上

                         ii.               点的坐标在线段端点范围内

b)         判断点在三角形内

                           i.               三个小三角形面积和等于大三角形

c)         判断点在多边形内外

                           i.               方法一：扫描法

1.         水平向右作一射线（长线段）

2.         射线与多边形有奇数个交点，则在多边形内

3.         细节：点在边上、射线交于顶点等

4.         适用于所有多边形

                         ii.               方法二：叉乘判别法

1.         按照顺时针给每条边编号

2.         两个向量：这条边的第一个端点连向第二个端点，判断点和第一个端点

3.         所有矢积为正

4.         适用于凸多边形

                       iii.               方法三：角度和判别法

1.         内角和2pi，角度有正负

2.         注意精度和单位

3.         适用于所有多边形

d)         判断点在矩形和圆中，直接用简易方法就行了

三、线段性质

a)         判断两线段相交（两个向量相互叉乘为零：1.一条线段的起点/终点在另一条线段上，2两条线段重合；两个向量相互叉乘不全部小于零：两条线段不相交；两个向量相互叉乘全部小于零：两条线段相交.）

                           i.               快速排斥实验

                         ii.               通过i进行跨立实验

b)         求线段交点

                           i.               方法一：先判断相交，再使用解析几何方法

                         ii.               方法二：叉积法（公式）

c)         判断一组线段相交

                           i.               按坐标把所有线段端点从小到大排序，设集合为S

                         ii.                       取一个端点p.如果p是线段s的左端点，则插入序列T中

                       iii.                       1

                        iv.                       1

四、半平面求交

a)         增量法

b)         分治法

c)         排序增量法

解析几何题纲

一、交点计算

a)         点到线段的最近点。设P(x1,y1)Q(x2,y2)R(x0,y0),Q 到PR最近点

                           i.               线段平行于坐标轴

                         ii.               线段不平行于坐标轴

                       iii.               以下各点都是处理下类似的细节就好

b)         点到圆的最近距离、最近点

c)         两条共线线段的交点

d)         两条不共线线段的交点

e)         线段与直线／圆的交点

二、面积

a)         三角形的面积：七类公式https://zhidao.baidu.com/question/618184143749046732.html

        1.已知三角形底a，高h，则 S＝ah/2
　　2.已知三角形三边a,b,c，则
　　（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）
　　S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
　　=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
       3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝1/2 * absinC
     4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r
　则三角形面积=(a+b+c)r/2
     5.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R
　则三角形面积=abc/4R
　6.S△=1/2 *
　　| a b 1 |
　　| c d 1 |
　　| e f 1 |
　　| a b 1 |
　　| c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC
　　| e f 1 |
　　选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！
　　7.海伦——秦九韶三角形中线面积公式:
　　S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3
　　其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.
　　8.根据三角函数求面积：
　　S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA
　　注:其中R为外切圆半径。
　　9.根据向量求面积：
　　SΔ)= ½√(|AB|*|AC|)²-（AB*AC）²

b)         多边形的面积（简单不自交）：三角剖分

                           i.               内点与顶点

                         ii.               顶点与顶点

                       iii.               外点与顶点

三、与三角形有关的圆

a)         外接圆：

b)         内切圆：

四、对称

a)         点对称

b)         直线对成

五、平移和旋转

六、最小圆覆盖

a)         点增量

b)         三角形增量法

 

 

凸包部分（求用凸多边形的包围起来：1、叉乘为负O(n^2)；2、用极坐标表示个点，按角度排序，用栈维护，如果出现凹，弹出这个点）

一、概念

二、卷包裹法

三、Graham-Scan算法

四、旋转卡壳

 

 

剩余的几何板块：

       立体几何（相交、投影、多面体、三维土包、最小球包涵、坐标变换）

       Voronoi图

       三角刨分