2017 Multi-University Training Contest 3
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2017 Multi-University Training Contest 3 solutions BY 洪华敦
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1001
考虑容斥,枚举哪些限制强制不满足,把n减去这些不满足限制的和,然后计算组合数. 注意到组合数有点难算,注意到可以把组合数看成一个m阶多项式,就可以把问题转换成对每一个1≤k≤m计算k次方的和. 如果c=1,可以数位dp,把每一位的贡献dp进去计算. 如果c≠1,需要预先枚举有几个限制不满足,然后再数位dp. 注意到可以把随意选择的位的dp结果预处理好来进行加速. 时间复杂度O(m4).1002
我们知道,对于任意两个数a,b,我们有:a~and~b=(a~or~b)-(a~xor~b)
我们枚举x=a or b,y=a xor b,显然要求的条件是x and y=y
之后可以计算满足以上条件的(a,b)有2bit(y)个
于是可以将式子重写成:
C[k]=∑x∑y[x and y=y]∗[x−y=k]∗B[x]∗A[y]∗2bit(y)
C[k]=∑x∑y[x and y=y]∗[x xor y=k]∗B[x]∗A[y]∗2bit(y)
C[k]=∑x xor y=k[x and y=y]B[x]∗A[y]∗2bit(y)
C[k]=∑x xor y=k[bit(x)−bit(y)=bit(k)]B[x]∗A[y]∗2bit(y)
用元素为多项式的FWT计算即可
时间复杂度:O(2m∗m2)
1003
我们只要求出对于一个数x左边最近的k个比他大的和右边最近k个比他大的,扫一下就可以知道有几个区间的k大值是x.我们考虑从小到大枚举x,每次维护一个链表,链表里只有>=x的数,那么往左往右找只要暴力跳k次,删除也是O(1)的。
时间复杂度:O(nk)
1004
若Ai xor Aj<Aj xor Ak,考虑Ai和Ak不同的位中最高的,根据这一位的值可以知道Aj这一位的值必须是多少。用一个字母树存下所有Ak,询问Ai时爬一下即可,顺便记录下中间有几个满足条件的Aj。
时间复杂度:O(nlogAi)
1005
把1看成整棵树的根. 问题相当于把2∼n每个点一个[1,k]的标号. 然后根据最小斯坦纳树的定义, (x,fax) 这条边的贡献是 x 子树内不同标号的个数目difi. 那么显然有difi≤min(k,szi), szi表示子树大小. 可以通过构造让所有difi都取到最大值. 所以答案就是∑x=2nw[x][fax]∗min(szx,k) 时间复杂度O(n).1006
问题相当于展开f(x−∑ai)。我们可以把每一项用二项式定理展开,然后可以发现这是可以用FFT优化的。
时间复杂度:O(nlogn)
1007
建一个 extra bit always1他的值永远是1. 如何判断xi=1? 新建一个 extra bit is[i][1], 初值为0,来存结果, 构造gate : i always1 is[i][1]. 如何判断xi=0? 新建一个 extra bit is[i][0],初值为1,来存结果, 构造gate : is[i][1] always1 is[i][0]. 构造一个Trie. 每个节点 t 新建一个extra bit act[t], 并且构造gate : act[fa[t]] is[dep[t]][dir] act[t] 其中 dir 表示方向,如果t是左儿子就是0,否则就是1. 这样对于一组输入,恰好有一片叶子的act是1,对每片答案为1的叶子构造gate: act[t] always1 output_bit. 可以通过设定output_bit的初值来减少对叶子的判断. gate和extra bit个数大约在2m+1+2m左右.1008
注意到一个数字x必然会被唯一表示成a2×b的形式.其中∣μ(b)∣=1。 所以这个式子会把[1,nk]的每个整数恰好算一次. 所以答案就是nk,快速幂即可. 时间复杂度O(logk).1009
注意到计算的是欧拉回路. 把BEST's THEOREM 稍加修改可以得到答案. Trees×deg[1]!×∏i=2m(deg[i]−1)!∏i=1m∏j=1mDi,j!1 Trees表示1为根的生成树个数,用基尔霍夫矩阵计算就行了. 时间复杂度O(m3).1010
用f[i][j]表示p[1:i]分成j段的最小代价. 显然可以写出一个O(n2k)的dp. 考虑用cdq分治优化dp, 考虑用f[l][j−1]⋯f[md][j−1] 来影响 f[md+1][j]⋯f[r][j] 处理出Ax表示[x,md]的lca, Bx表示[md+1,x]的lca. 转移的时候计算lca(A[i],B[j])就行了. 考虑枚举每一个[md+1,r]的t.注意到转移分成两段,一段后缀满足lca是lca(B[t],p[md]),剩下的一段前缀lca是A[i], 前后缀的分界线可以单调移动得到. 然后分两段分别转移就好了,通过预处理前后缀最小值来O(1)转移. 时间复杂度O(nklogn)1011
一个签到题,目的在于吐槽浙江的高温统计有多少数<=35即可。
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