动态规划的一些笔记

1、动态规划的概念

     1）动态规划是运筹学中用于求解决策过程中的最优化数学方法。 当然，我们在这里关注的是作为一种算法设计技术，作为一种使用多阶段决策过程最优的通用方法。
它是应用数学中用于解决某类最优化问题的重要工具。

2）如果问题是由交叠的子问题所构成，我们就可以用动态规划技术来解决它，一般来说，这样的子问题出现在对给定问题求解的递推关系中，这个递推关系包含了相同问题的更小子问题的解。动态规划法建议，与其对交叠子问题一次又一次的求解，不如把每个较小子问题只求解一次并把结果记录在表中（动态规划也是空间换时间的），这样就可以从表中得到原始问题的解。//记忆化搜索
关键词：
它往往是解最优化问题滴
问题可以表现为多阶段决策//多阶段决策：多阶段决策是社会经济学中动态决策问题的一个特殊形式。简言之，就是在系统的动态过程里，每一个阶段都需要进行决策。
交叠子问题：什么是交叠子问题，最优子结构性质。//最优子结构：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。
动态规划的思想是什么：记忆，空间换时间，不重复求解，由交叠子问题从较小问题解逐步决策，构造较大问题的解。

斐波那契数列可以作为最简单的一个例子来解释动态规划的思想，在前面讲斐波那切数列时说过了，不再叙述。
一般来说，一个经典的动态规划算法时自底向上的（从较小问题的解，由交叠性质，逐步决策处较大问题的解），它需要解出给定问题的所有较小子问题。动态规
一个变种是试图避免对不必要的子问题求解。如果采用自顶向下的递归来解，那么就避免了不必要子问题的求解（相对于动态规划表现出优势），然而递归又会导致对同一个子问题多次求解（相对于动态规划表现出劣势），所以将递归和动态规划结合起来，就可以设计一种基于记忆功能的从顶向下的动态规划算法，在后面会讲。

1

a，相同点是动态规划和分治法都划分为了较小规模问题的解
b，不同点是动态规划的较小子问题是交叠的，而且要存储较小子问题的解
2
a，参见代码，已实现
b，也可以按列来填矩阵（想想为什么？）---实际上这个问题就表明了再看动态规划第四点（填矩阵的方式表明了什么）
3
easy，在讲解中已多处指出
4
a， 空间效率也是nk，参见代码，或者从矩阵上也可看出
b，可以，这个问题的表明了再看动态规划第三点（优化空间复杂度）
---为什么可以优化，上面说过，可不可以优化，以及如何优化空间复杂度依赖于它的递推形式：
---从填矩阵的那张图可以看出，这个动态规划产生各项的过程（如果按行填的话）是上一行的第 i-1 项和第 i 项加起来产生下一行的第 i 项，传统上，我们从左往右填。
---事实上，根据它的产生过程（这个产生过程依赖于递推式自身的数学特征），可以从右往左填，这样开一个数组就行，在原数组上本地不动的填数，从右往左填可
以保证一个位置在覆盖以后不会再被用到（这是由递推式的属性决定的，需要画一画才看的比较清楚）。
这样开一个K大的数组就行了，具体的实现就不写了，已经分析的很清楚了，实现也不难
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由以上分析，加习题，相信对于动态规划到底是什么，核心思想，具体的操作细节，以及对于动态规划的理解都加深了吧，
有2点觉得非常重要，一是填矩阵的顺序，二是动态规划空间复杂度的优化：这2点都跟递推式的依赖关系有关（这是本质），在形式上就表现为填矩阵的时候你
顺序要确保每填一个新位置时你所用到的那些位置（即它依赖的）要已经填好了，在空间优化上表现为当一个位置在以后还有用的时候你不能覆盖它。
这2条结论非常重要，是深刻理解动态规划的一个重要阶梯，我也是好久慢慢悟出来的，当然，它们有更professional的表述，在下一篇文章里我会贴出。

问题：
国际象棋中的车可以水平的或竖直的移动，一个车要从一个棋盘的一角移到对角线的另一角，有多少种最短路径？
a，用动态规划算法求解
b，用初等排列组合知识求解
b）先说b吧，这是个很简单的高中排列组合题目了，假设棋盘大小是n*n的（囧，象棋棋盘多大这个得想想才知道，就说n吧），答案是C(2n , n)
a）用a方法做下吧（主要是培养下怎么去建立动态规划的递推式）
问题是从（0,0）移动到（n，n）有多少种方法？（最短路，即横n竖n，不能回退）
设C[i , j]表示从（0,0）移动到（i ,j）的方法数（描述问题，怎么去刻画C[i , j]的含义，是动态规划的一个关键点）：
那么怎么才能走到（i ,j）呢，它的上一步必定是（i-1 ,j）或者（i ,j-1）-------（分析动态规划问题的逆向思维，很重要，后面要讲）
这样就将问题描述为了交叠子问题：
C[i , j]  =  C[i -1, j]   +  C[i , j-1]        （ C[i , j]的含义  ）
我要求的是C[n , n]
初始条件：
C[0 , j]  =  j           j从0到n  
C[i , 0]   =  i           i从0到n
即第一行第一列确定。
填矩阵的形式：可以按行也可以按列。
以上分析画个图很容易看出来。剩下的实现就很简单了。

我们再说下最优子结构和多阶段决策：
最优子结构：有准确的定义，可以参见一些资料，我自己描述下就是：在动态规划求解过程中的，子问题产生的解对于子问题来说也是一个最优解
多阶段决策：一步步的决策，无后效性，决策只依赖于当前状态，不依赖于之前的状态。
看看象棋问题的最优子结构性质：在到达终点之前的任意（i , j）点所走过的方法数都是最少的。
多阶段决策：每次决定往哪走只跟当前在哪有关，跟以前怎么走的无关。