KMP算法解析与实现

最近学了KMP算法，学了半天终于学会了，感觉还是挺难理解的，在这里与大家分享一下我的思考，也方便我自己复习。
下面就正式进入讲解环节吧（本文所有字符串初始坐标为0！）。

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首先我们要明确KMP算法是干什么的：我们有两个字符串T与S，现在我们要找到T中为S的子串，求出满足条件子串数量及位置。这时候我们就要用到KMP算法。

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传统算法回顾：

在讲解KMP算法前，我们先看一下传统方式的查询。
在字符串T与S中各设一个指针i,j=1;依次比对i+1,j+1、i+2,j+2……..
如果发现有不同的，则比对i+1,j=1;
用图来看一下（加粗为当前比对位置）：
T: c1 c2 c3 c4 c5
S: c1 c2 d3 e4
然后
T: c1 c2 c3 c4 c5
S: c1 c2 d3 e4
然后
T: c1 c2 c3 c4 c5
S: c1 c2 d3 e4
这时我们发现c3与d3不同，就比对T-c2与S-c1,即：
T: c1 c2 c3 c4 c5
S: __ c1 c2 d3 e4
这样的比对，扫描T需要O（n）时间，检查比对需要O(n)时间。
总时间复杂度：O( n^2 )，这样的复杂度还算快的。
然而与KMP相比，还是太慢了，KMP可以把时间复杂度优化到O(n+m);
下面让我们来具体看看KMP的实现。

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运用next数组实现跳转：

先引入两个概念：
- 前缀串：例如abcde，则其前缀依次为：a,ab,abc,abcd,abcde
- 后缀串：例如abcde，则其后缀串依次为e,de,cde,bcde,abcde
对于ababa这个目标串（对比串），我们可以发现：
其前缀串与后缀串有相同部分！这就是KMP实现的关键。
比对abacdabe与ababa时,我们可以看到：
T: a b a c d a b e
S: a b a a b a
有第三位置<初始坐标为0>上的a与c不同。
当我们将S往后移动时由于第一位与第三位相同，前两位已经比对过了。
所以后移后绝对不会匹配.
这样就浪费了大量的时间。
而KMP的比对就会直接跳到：
T: a b a c d a b e
S:——a b a a b a
具体是如何实现的呢？我们引入一个F[i]来记录目标串S的前缀串与后缀串的最大相同量。
例如：a b a a b a
则对于未知i,有：
i=1,a,F[1]=无；
i=2,a b,F[2]=无；
i=3,a b a,F[3]=1;
i=4,a b a a,F[4]=1;
i=5,a b a a b,F[5]=2;
i=6,a b a a b a,F[6]=3；
但为了方便计数（等会你就知道为什么了），也方便区分无相同前缀的位置，我们将所有F减1，即无相同前缀的为-1；
所以：
F[1]=-1;F[2]=-1;F[3]=0;F[4]=0;F[5]=-1;F[6]=2;
下文中所有的表示都是这样的。
然后我们用几个例子看一看next是如何实现跳转的。
例如匹配abaaddddd与abaaba，则用前缀数组的方法为：
前缀数组：a -b a a -b a(‘-‘方便对齐)
———— -1 -1 0 0 1 2
匹配到：
T: a b a a d d d d d
S: a b a a b a
F[5-1]=0,有一个相同的前缀，j直接跳转到F[j-1]+1=1（注意初始下标为0）;即：
T: a b a a d d d d d
S: ——–a b a a b a
此时匹配位置前一个的’a’已经匹配，实现跳转。再看一个：
匹配abaabdddd与abaaba，匹配到：
T: a b a a b d d d d
S: a b a a b a
此时F[6-1]=1,有1+1=2个相同前缀，j跳转到F[j-1]+1=2,即：
T: a b a a b d d d d
S: ——–a b a a b a
读者们可以仔细体会一下上面两个例子，这里我给出跳转的总结：

if(t[i]!=s[j]){   if(j==0)i++;    //没有相同前缀，直接向后移（与一般方法相同）   else j=F[j-1]+1;    //跳转，KMP}

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求解next数组：

知道如何用next数组实现跳转后，我们还要想办法实现next数组的求解。
对于next数组，我们求解的方法与上文其实差不多，但是用到了一个思想：自己匹配自己！
我们先思考：求解next数组肯定要用O（m）的算法吧。（要保证KMP的时间复杂度）。
这里的思路是一个递推思路。
结合下面的代码读者们不妨先想一想，什么样的情况下F[i]可以由前面的F[k]加1求得。
先给出求解F数组的代码：

void get_low()        {    len=t.length();    F[0]=-1;        int temp=0,i;    for(i=1;i<=len-1;i++)      //初始下标为0！    {        int j=F[i-1];                  while(t[j+1]!=t[i]&&j>=0)j=F[j];                        if(t[j+1]==t[i])F[i]=j+1;          else F[i]=-1;    }return;}

还是先从例子开始吧。
所求前缀数组：
S: a _b a a b _b a b a a b
F: -1 -1 0 0 1 -1 0 1 2 3 4

我们求解第二个：
S：a __b a a b
F：-1 -1
此时这个a的前一个b的F值为-1,所以此时的a不能由b的F[1]求出，j=-1；
比对S[j+1]=a，与当前位a相同，所以F[i]=F[2]=j+1=0;

我们求解第五个：
S= a b a a b b
F=-1 -1 0 0
此时j=F[i-1]=F[4]=0,但当前位置b与前一个a不同，无法接上,j=F[j]=0;
然后比对S[j+1]=S[2]=’b’与当前位b相同，F[i]=F[5]=j+1=1;

这一部分虽然代码很短，但这是KMP的难点，比较难理解（但一定不能背代 码），希望读者们进行一次完整的模拟以助于理解（对照上文的代码），这里给出一个典型的例子以供参考：
–典型例子：S: a _b a a b _b a b a a b //下标线为方便对齐
–对应next：F:-1 -1 0 0 1 -1 0 1 2 3 4
这个例子把next的所有情况都包含到了，希望读者们一定要耐着性子模拟一遍。

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理解了以上内容后（我承认有点难度），KMP算法的实现应该也就不难了，下面我给出完整的代码<内含用next匹配的具体代码>：

模板题来自于：洛谷 P3375 【模板】KMP字符串匹配

题目描述

如题，给出两个字符串s1和s2，其中s2为s1的子串，求出s2在s1中所有出现的位置。

为了减少骗分的情况，接下来还要输出子串的前缀数组next。

（如果你不知道这是什么意思也不要问，去百度搜[kmp算法]学习一下就知道了。）
输入输出格式
输入格式：

第一行为一个字符串，即为s1（仅包含大写字母）

第二行为一个字符串，即为s2（仅包含大写字母）

输出格式：

若干行，每行包含一个整数，表示s2在s1中出现的位置

接下来1行，包括length(s2)个整数，表示前缀数组next[i]的值。

输入输出样例
输入样例#1：

ABABABC
ABA

输出样例#1：

1
3
0 0 1

说明

时空限制：1000ms,128M
设s1长度为N，s2长度为M
对于100%的数据：N<=1000000，M<=1000

完整代码（即KMP算法的模板）：

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cmath>using namespace std;char t[10000002],s[10002];  //原串、模式串int F[10002];     //前缀next数组int len,len1;inline void get_bef()   //求解next前缀数组{    int i,j;    F[0]=-1;len=strlen(s);    for(i=1;i<=len-1;i++)    {        j=F[i-1];        while(j>=0 && s[i]!=s[j+1])j=F[j];        if(s[i]!=s[j+1])F[i]=-1;        else F[i]=j+1;    }return;}inline void find_pos()  //求解位置{    int i,j;    len1=strlen(t);j=0;i=0;    while(i<=len1-1)    {        if(t[i]==s[j])              //这里为正常匹配        {            i++;            j++;            if(j==len)printf("%d\n",i-j+1);        }        else                        //KMP跳转        {            if(j==0)i++;            else j=F[j-1]+1;                   }    }return; }int main(){    scanf("%s",&t);    scanf("%s",&s);    get_bef();    find_pos();    for(int i=0;i<=len-1;i++)printf("%d ",F[i]+1);    return 0; }

希望我的一点理解感悟能够帮助到oier们，呵呵呵，谢谢观看。