多校3 HDU

原题链接：
HDU-6063

RXD and math

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 524288/524288 K (Java/Others)
Total Submission(s): 672 Accepted Submission(s): 385

Problem Description

RXD is a good mathematician.
One day he wants to calculate:

∑i=1nkμ2(i)×⌊nki−−−√⌋

output the answer module 109+7.
1≤n,k≤1e18

μ(n)=1(n=1)

μ(n)=(−1)k(n=p1p2…pk)

μ(n)=0(otherwise)

p1,p2,p3…pk are different prime numbers

Input
There are several test cases, please keep reading until EOF.
There are exact 10000 cases.
For each test case, there are 2 numbers n,k.

Output
For each test case, output “Case #x: y”, which means the test case number and the answer.

Sample Input
10 10

Sample Output
Case #1: 999999937

大意：
给公式求值。

思路：
比赛的时候想着套莫比乌斯函数，同时也发现 μ(n)2不是 0 就是 1 。
然后队长说发现 n^k 直接取模试试看就过了。

赛后题解：

现在从答案来反向理解一下= =
题解不是很明白。如果只是从原式去推的话，就很难得出 n^k 这种简洁的结论。

每个数字 x 都能唯一表示 a2×b=x 。

对于 |μ(i)|=1 的情况，

⌊nki−−−√⌋⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∗

表示的是 nk−−√ 内 i√ 的倍数有多少个，并开方，记其值为 B 。对于所有 j， j 满足 j=b2×i，易得 |μ(j)|=0，这些 j 在式子中是没有贡献的，而所有 j 个数就是 B 。

归纳起来

每一个 i ， 式子 * 对应的是 i的倍数 在 n^k 内的数量
而 i 取 1~n^k 的范围时，i 和其倍数把所有 1~n^k 都表示了。
所以答案就是个数 即 n^k

代码实现：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;#define mem(s,t) memset(s,t,sizeof(s))#define D(v) cout<<#v<<" "<<v<<endl#define inf 0x3f3f3f3f//#define LOCALconst int mod = 1e9+7;ll quick_mod(ll a,ll b){    a%=mod;    ll ret=1;    while(b){        if(b&1)            ret=(ret*a)%mod;        a=(a*a)%mod;        b>>=1;    }    return ret%mod;}int main() {    ll a,b,kase=0;    while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){        printf("Case #%lld: %lld\n",++kase,quick_mod(a,b));    }    return 0;}