数据结构——B-tree(多路搜索树)

一、前言

B-tree树（多路搜索树，非二叉树），B即Balanced，平衡的意思，有别于二叉查找树（Binary Search Tree），在国内有经常将两者都写作B-树的情形，这其实是非常容易混淆的直译，因为这两种树有非常大的差别，不是同一种数据结构。所以，希望在提到B-tree树时，可以加上多路搜索树的全程，或者读成Balanced Tree以明确区分。还有~如果读成了B减树，那可真就丢人了~
B-tree这个数据结构一般用于数据库的索引，综合效率较高。比如MySql的索引采用的就是B+树，是B-tree的变体，所以接下来我们先了解B-tree的原理。

二、数据库索引

树结构的查询效率高，并且可以保持有序，这使得数据库索引使用非常便利。但是既然使用树结构，二叉搜索树的查询时间复杂度是O(log(n))，从算法逻辑上来讲，无论查找速度还是比较次数都是最小的，那为什么数据库索引没有采用二叉搜索树呢？因为在实际情况下，我们不得不考虑另外一个现实问题，磁盘IO，因为数据库的索引通常十分庞大，需要以文件形式存储，而磁盘IO的存取次数就是评价一个数据库索引优劣的关键性指标。
因为索引的加载不可能一次全部加载进内存，磁盘读取每次读取的长度为一个磁盘页的长度，所以数据库系统会将一个节点的大小设为等于一页，这样保证了数据库每个节点只需要一次IO就可以完全加载。每次新建节点，直接申请一个页的空间，计算机存储分配是按页对齐的，这样在物理上也保证了一个节点对应一页，保证一个节点只需要一次IO。在B-tree中m值一般会设的比较大，让树的高度降低，有利于一次完整载入。
树的查找是由树的高度决定的，所以在二叉查找树中，最坏的情况下，磁盘的IO次数等于索引树的高度，而二叉查找树的性质决定了，大数据量的情况下树的高度必然会很高，所以为了减少磁盘IO次数，我们需要将瘦高的树变得矮胖，这也是B-tree的特征之一。

三、B-tree

B-tree是一种多路平衡查找树，它的每一个节点最多包含k个孩子，k被称为B-tree的阶。数据库索引树中，k的大小取决于磁盘页的大小。一个m阶的B-tree具有如下几个特征：
1.根节点至少有两个孩子
2.每个中间节点都包含k-1个元素和k个孩子，其中m/2<= k <=m
3.每一个叶子节点都包含k-1个元素，其中m/2<= k <=m
4.所有的叶子节点都位于同一层
5.每个节点中的元素从小到大排列，节点中当k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域分划
这么一条条的规则看起来很生硬，我们以一个3阶B-tree的例子来看

在这张图中，重点看下（5,9）节点，孩子节点有有两个元素5和9，又有三个孩子4，（6,8），13。其中4小于5，（6,8）在（5,9）之间，13大于（5,9）。正好符合上面的几条特征。
我们再来演示下查询的过程，比如说查询元素6。

如图：第一次拿6和12比较，然后从左分支，6再和（5,9）比较，走中间分支，然后6再和（6,8）比较，找到所要查找的元素。在这个过程中，随着元素的增多，实际情况下内存中比较次数可能很多，但是内存的比较时间与磁盘IO消耗相比几乎可以忽略不计。
接下来我们再演示下B-tree添加和删除的情况，因为B-tree之所以叫Balanced tree，那是因为它时刻保持自平衡，所以在插入节点的过程非常复杂，而且需要分多种情况来分析，这里我们只举一个典型的例子来表示出B-tree的特性，从而更方便大家理解它的理念，更多的细节还希望大家在运用的过程中去学习理解。比如我们插入一个节点7，自顶向下查找发现7的位置在（6,8）之间：

节点（6,8）已经是两元素节点，无法在增加。父亲节点（5,9）也是两元素节点，也无法再增加，根节点12是单元素节点，可以升级为两元素节点。升级后，需要拆分（5,9）节点为单元素节点，同时拆分（6,8）为单元素节点，结果如图：

插入一个元素，使得整个树几乎变了样子，但这也是B-tree自平衡的特点。
我们再来看下删除元素的例子，比如删除14。
删除14后，节点15只有一个孩子，不符合B-tree的规范，因此在15,16,18中找出中位数16，使其取代节点15，而15左下移成为孩子，如图：

四、结语

B-tree主要用在文件系统以及部分数据库索引，比如MongoDB，而MySql使用的是B-tree的变种B+树。上面所举的例子比较简单，但是原理都是通用的，方便大家理解，更深层的东西希望能在今后的学习和工作中领会。