最短路径之Bellman_Ford

适用于：

单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

差分约束系统;

Bellman-Ford算法的流程如下：
给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为inf, Distant[s]为0；

以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；

为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。

但是要注意有的题目会有重复的边，比如这个题：Til the Cows Come Home  题解：点击打开链接

bool Bellman_Ford()  {      for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化          dis[i] = (i == original ? 0 : MAX);      for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i)          for(int j = 1; j <= edgenum; ++j)              if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛            {                  dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost;              }              bool flag = 1; //判断是否含有负权回路              for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)                  if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost)                  {                      flag = 0;                      break;                  }                  return flag;  } 

#include <iostream>using namespace std;const int maxnum = 100;const int maxint = 99999; // 边，typedef struct Edge{    int u, v;    // 起点，重点    int weight;  // 边的权值}Edge; Edge edge[maxnum];     // 保存边的值int  dist[maxnum];     // 结点到源点最小距离 int nodenum, edgenum, source;    // 结点数，边数，源点 // 初始化图void init(){    // 输入结点数，边数，源点    cin >> nodenum >> edgenum >> source;    for(int i=1; i<=nodenum; ++i)        dist[i] = maxint;    dist[source] = 0;    for(int i=1; i<=edgenum; ++i)    {        cin >> edge[i].u >> edge[i].v >> edge[i].weight;        if(edge[i].u == source)          //注意这里设置初始情况            dist[edge[i].v] = edge[i].weight;    }} // 松弛计算void relax(int u, int v, int weight){    if(dist[v] > dist[u] + weight)        dist[v] = dist[u] + weight;} bool Bellman_Ford(){    for(int i=1; i<=nodenum-1; ++i)        for(int j=1; j<=edgenum; ++j)            relax(edge[j].u, edge[j].v, edge[j].weight);    bool flag = 1;    // 判断是否有负环路    for(int i=1; i<=edgenum; ++i)        if(dist[edge[i].v] > dist[edge[i].u] + edge[i].weight)        {            flag = 0;            break;        }    return flag;}int main(){    //freopen("input3.txt", "r", stdin);    init();    if(Bellman_Ford())        for(int i = 1 ;i <= nodenum; i++)            cout << dist[i] << endl;    return 0;}