网络流总结(持续更新中)

1.我自己理解的网络流

我对网络流的理解就是，给定一个图，这个图有一种特点，都可以看成从某个点开始，我们称之为源点，一般情况下都将此点定位第一个点，即初始点，所有的点最终都会在一个点会和，我们称之为汇点，通常将此点定位为n，也就是最后一个点。既然是网络流，那么一定不会很简单，每条有向边之间都有一定的权值，称之为容量，用c(i,j)表示，而流过每条路径的称之为流量，用f(i,j)表示，目标就是求各种的流量。

2.网络流举例

这是最大网络流的一个典型例题，答案既不是8，也不是17等等除了10之外的答案，没错就是10，不妨自己想一下怎么得到的10.

答案是下面这样的

有点不容易懂吧，不着急慢慢来。

3.大神眼中的网络流

 

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4.网络流相关

相必网络流已经了解的差不多了，那就要来看一下将网络流用代码实现的相关知识。

(1)最大流算法

最大流算法就是经过所有路径之后，得到的净最大流量，说起来简单，具体实现就要牵扯到增广路问题了。

两种求最大流的模板：

(1)dicnic模板

#include <iostream>#include <algorithm>#include <stdio.h>#include <string.h>using namespace std;const int oo=1e9;const int mm=111111;const int mn=999;int node,src,dest,edge;int ver[mm],flow[mm],_next[mm];int head[mn],work[mn],dis[mn],q[mn];void prepare(int _node,int _src,int _dest){    node=_node,src=_src,dest=_dest;    for(int i=0;i<node;++i)        head[i]=-1;    edge=0;}void addedge(int u,int v,int c){    ver[edge]=v,flow[edge]=c,_next[edge]=head[u],head[u]=edge++;    ver[edge]=u,flow[edge]=0,_next[edge]=head[v],head[v]=edge++;}bool Dicnic_bfs(){    int i,u,v,l,r=0;    for(i=0;i<node;++i)        dis[i]=-1;    dis[q[r++]=src]=0;    for(l=0;l<r;++l)        for(i=head[u=q[l]];i>=0;i=_next[i])        if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]<0)    {        dis[q[r++]=v]=dis[u]+1;        if(v==dest)            return 1;    }    return 0;}int Dicnic_dfs(int u,int exp){    if(u==dest)        return exp;    for(int &i=work[u],v,tmp;i>=0;i=_next[i])        if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]==dis[u]+1&&(tmp=Dicnic_dfs(v,min(exp,flow[i])))>0)    {        flow[i]-=tmp;        flow[i^1]+=tmp;        return tmp;    }    return 0;}int Dicnic_flow(){    int i,ret=0,delta;    while(Dicnic_bfs())    {        for(i=0;i<node;++i)            work[i]=head[i];        while(delta=Dicnic_dfs(src,oo))            ret+=delta;    }    return ret;}

（2）SAP模板

int Sap()       //sap模板{    int res = 0;    BFS();    int top = 0;    memcpy(cur, head, sizeof(head));    int u = src, i;    while (dep[src] < n)    {        if (u == des)        {            int temp = inf, inser = n;            for (i=0; i!=top; ++i)                if (temp > edge[stack[i]].cap)                {                    temp = edge[stack[i]].cap;                    inser = i;                }            for (i=0; i!=top; ++i)            {                edge[stack[i]].cap -= temp;                edge[stack[i]^1].cap += temp;            }            res += temp;            top = inser;            u = edge[stack[top]].frm;        }        if (u != des && gap[dep[u] -1] == 0)            break;        for (i = cur[u]; i != -1; i = edge[i].nxt)            if (edge[i].cap != 0 && dep[u] == dep[edge[i].to] + 1)                break;        if (i != -1)        {            cur[u] = i;            stack[top++] = i;            u = edge[i].to;        }        else        {            int min = n;            for (i = head[u]; i != -1; i = edge[i].nxt)            {                if (edge[i].cap == 0)                    continue;                if (min > dep[edge[i].to])                {                    min = dep[edge[i].to];                    cur[u] = i;                }            }            --gap[dep[u]];            ++gap[dep[u] = min + 1];            if (u != src)                u = edge[stack[--top]].frm;        }    }    return res;}

（3）

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cmath>#include<queue>#include<cstdio>#define ll long long#define mset(a,x) memset(a,x,sizeof(a))using namespace std;const double PI=acos(-1);const int inf=0x3f3f3f3f;const double eps=1e-6;const int maxn=1005;const int mod=1e9+7;int dir[4][2]={0,1,1,0,0,-1,-1,0};ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}ll lcm(ll a,ll b){return a/gcd(a,b)*b;}ll inv(ll b){if(b==1)return 1; return (mod-mod/b)*inv(mod%b)%mod;}int map[maxn][maxn],flow[maxn][maxn],a[maxn],path[maxn];int n,m,start,END;int maxflow(){int i,j,k;queue <int> q;mset(flow,0);int max_flow=0;while(1){mset(a,0);a[start]=inf;while(!q.empty()) q.pop();q.push(start);while(!q.empty()){int temp=q.front();q.pop();//if(temp==end)//break;for(i=0;i<n*2+1;i++){if(!a[i]&&flow[temp][i]<map[temp][i]){path[i]=temp;a[i]=min(a[temp],map[temp][i]-flow[temp][i]);q.push(i);}}}if(a[END+n]==0)break;for(j=END+n;j!=start;j=path[j]){flow[path[j]][j]+=a[END];       //反向弧相加             flow[j][path[j]]-=a[END];       //减去流量 }max_flow+=a[END+n];}return max_flow;}int main(){return 0;}

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cmath>#include<queue>#include<cstdio>#define ll long long#define mset(a,x) memset(a,x,sizeof(a))using namespace std;const double PI=acos(-1);const ll inf=0x3f3f3f3f;const double esp=1e-6;const int maxn=10005;const int mod=1e9+7;int dir[4][2]={0,1,1,0,0,-1,-1,0};int d[maxn],start,END,n,p,k;int map[105][105],cur[maxn];int bfs(){int i,j;mset(d,-1);d[start]=0;queue <int> q;q.push(start);while(!q.empty()){int temp=q.front();q.pop();if(temp==END)                   //到达汇点 return 1;for(i=1;i<=n;i++){if (map[temp][i]>0&&d[i]==-1){            d[i]=d[temp]+1;            q.push(i);}}}return d[END]!=-1;}int dfs(int u,int maxflow){if(u==END)return maxflow;int j,ret=0;for(int i=cur[u];i<=n;i++){int c=i;if(map[u][i]>0&&d[i]==d[u]+1&&(ret=dfs(cur[u]=i,min(maxflow,map[u][i])))){map[u][i]-=ret;map[i][u]+=ret;return ret;}}return 0;}int dinic(){int ans=0,temp;while(bfs()){for(int i=0;i<=n;i++)cur[i]=1;temp=dfs(start,inf);ans+=temp;}return ans;}int main(){int i,j,x,y,z;while(cin>>n>>p>>k){mset(map,0);for(i=0;i<p;i++){scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);map[x][y]=z;map[y][x]=z;}start=1;END=2;int ans1=dinic();cout<<ans1<<endl;for(i=0;i<k;i++){scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);map[x][y]+=z;map[y][x]+=z;ans1+=dinic();cout<<ans1<<endl;}}return 0;}

(2)增广路算法

算法思想其实很简单，从零流（所有边的流量均为0）开始不断增加流量，保持每次增加流量后都满足容量限制、斜对称性和流量平衡3个条件。

刘汝佳的算法竞赛入门经典中有对增广路算法的详细介绍，顺便放两条链接方便理解。

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(3)最小割最大流定理

在一个网络流中，能够从源点到达汇点的最大流量等于，如果从网络中移除就能够导致网络流中断的边的集合的最小容量和。

参考博客：点击打开链接

最小割求最少边

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cmath>#include<queue>#include<cstdio>#define ll int#define mset(a,x) memset(a,x,sizeof(a))using namespace std;const double PI=acos(-1);const int inf=0x3f3f3f3f;const double esp=1e-6;const int maxn=2005;const int maxm=10005;const int mod=1e9+7;int dir[4][2]={0,1,1,0,0,-1,-1,0};struct Edge{    int v,next;    ll cap;}edge[maxm];int head[maxn],pre[maxn],cur[maxn],level[maxn],gap[maxn],NV,cnt,n,m;void Insert(int u,int v,ll cap){    edge[cnt].v=v;edge[cnt].cap=cap;    edge[cnt].next=head[u];head[u]=cnt++;    edge[cnt].v=u;edge[cnt].cap=0;    edge[cnt].next=head[v];head[v]=cnt++;}ll SAP(int start,int END){    mset(pre,-1);    mset(level,0);    mset(gap,0);    for(int i=0;i<=NV;i++)cur[i]=head[i];    int u=pre[start]=start;    ll aug=-1,maxflow=0;    gap[0]=NV;    while(level[start]<NV){q:        for(int &i=cur[u];i!=-1;i=edge[i].next){            int v=edge[i].v;            if(edge[i].cap&&level[u]==level[v]+1){                aug==-1?aug=edge[i].cap:aug=min(aug,edge[i].cap);                pre[v]=u;                u=v;                if(v==END){                    maxflow+=aug;                    for(u=pre[u];v!=start;v=u,u=pre[u]){                        edge[cur[u]].cap-=aug;                        edge[cur[u]^1].cap+=aug;                    }                    aug=-1;                }                goto q;            }        }        int minlevel=NV;        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){            int v=edge[i].v;            if(edge[i].cap&&minlevel>level[v]){                cur[u]=i;                minlevel=level[v];            }        }        if(--gap[level[u]]==0)break;        level[u]=minlevel+1;        gap[level[u]]++;        u=pre[u];    }    return maxflow;}int main(){     int T,u,v,w,flag,start,END;    scanf("%d",&T);    while(T--){        scanf("%d%d",&n,&m);        scanf("%d%d",&start,&END);NV=n,cnt=0;        memset(head,-1,sizeof(head));        for(int i=1;i<=m;i++){            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);            if(u==v)            continue;            Insert(u,v,(ll)w*maxm+1);        }        ll ans=SAP(start,END);        printf("%d\n",ans%maxm);    }    return 0;}

(4)最小费用最大流问题

基于最小割问题，但此问题增加了访问值，即每经过一个点都要减去相应的流量值，最后求出最大流。

可以看一下这个例题：点击打开链接

参考博客：点击打开链接

模板：

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cmath>#include<queue>#include<cstdio>#define ll long long#define mset(a,x) memset(a,x,sizeof(a))using namespace std;const double PI=acos(-1);const int inf=0x3f3f3f3f;const double eps=1e-6;const int maxn=1005;const int mod=1e9+7;int dir[4][2]={0,1,1,0,0,-1,-1,0};ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}ll lcm(ll a,ll b){return a/gcd(a,b)*b;}ll inv(ll b){if(b==1)return 1; return (mod-mod/b)*inv(mod%b)%mod;}int head[100],ep;  int d[maxn],pre[maxn];  bool vis[maxn];  int q[maxn];  struct Edge  {      int u,v,c,w,next;  }edge[maxn];  void addedge(int u,int v,int w,int c)//u v 费用 容量  {      edge[ep].u=u;      edge[ep].v=v;      edge[ep].w=w;      edge[ep].c=c;      edge[ep].next=head[u];      head[u]=ep++;      edge[ep].v=u;      edge[ep].u=v;      edge[ep].w=-w;      edge[ep].c=0;      edge[ep].next=head[v];      head[v]=ep++;  }  int SPFA(int src,int des)  {      int l,r;      memset(pre,-1,sizeof(pre));      memset(vis,0,sizeof(vis));      for(int i=0;i<=des;i++) d[i]=inf;      d[src]=0;      l=0;r=0;      q[r++]=src;      vis[src]=1;      while(l<r)      {          int u=q[l++];          vis[u]=0;          for(int j=head[u];j!=-1;j=edge[j].next)          {              int v=edge[j].v;              if(edge[j].c>0&&d[u]+edge[j].w<d[v])              {                  d[v]=d[u]+edge[j].w;                  pre[v]=j;                  if(!vis[v])                  {                      vis[v]=1;                      q[r++]=v;                  }              }          }      }      if(d[des]==inf)          return 0;      return 1;  }  int MCMF(int src,int des)  {      int flow=0,ans=0;//flow是得到的最大流的值 ans得到的是最小的费用      while(SPFA(src,des))      {          ans+=d[des];          int u=des;          int mini=inf;          while(u!=src)          {              if(edge[pre[u]].c<mini)                  mini=edge[pre[u]].c;                  u=edge[pre[u]].u;          }          flow+=mini;          u=des;          while(u!=src)          {              edge[pre[u]].c-=mini;              edge[pre[u]^1].c+=mini;              u=edge[pre[u]].u;          }      }      return ans;  }int main(){return 0;}

5.应用

1. UVA 10480 Sabotage (最大流)

2. 

HDU 4289 Control（最大流+拆点）

3.   HDU 2732 Leapin' Lizards(拆点+最大流)

4.   POJ 3281 Dining（拆点+最大流）

5.   BZOJ 1001 狼抓兔子

初步总结了有关网络流的算法，网络流的题类型很多，部分地方用到了邻接表，有的还会牵扯到二分、并查集、spfa等，是一类不容易掌握的题，具体题型会在整理后附上题解。 由于能力有限，博客中出错不可避免，还请各位大神多多指教。