素筛讲解及模板（线性筛）

本文链接：http://blog.csdn.net/sjf0115/article/details/8693756

<1>方法一

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1. //判断是否是一个素数  
2. int IsPrime(int a){  
3.     //0,1，负数都是非素数  
4.     if(a <= 1){  
5.         return 0;  
6.     }  
7.     //计算枚举上界，为防止double值带来的精度损失，所以采用根号值取整后再加1，即宁愿多枚举一个，也不愿少枚举一个数  
8.     int bound = (int)sqrt(a) + 1;  
9.     for(int i = 2;i < bound;i++){  
10.         //依次枚举这些数能否整除x，若能则必不是素数  
11.         if(a % i == 0){  
12.             return 0;  
13.         }  
14.     }  
15.     return 1;  
16. }  

<2>方法二

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1. #define MAXSIZE 10001  
2.   
3. int Mark[MAXSIZE];  
4. int prime[MAXSIZE];  
5.   
6. //判断是否是一个素数  Mark 标记数组 index 素数个数  
7. int Prime(){  
8.     int index = 0;  
9.     memset(Mark,0,sizeof(Mark));  
10.     for(int i = 0;i < MAXSIZE;i++){  
11.         //已被标记  
12.         if(Mark[i] == 1){  
13.             continue;  
14.         }  
15.         else{  
16.             //否则得到一个素数  
17.             prime[index++] = i;  
18.             //标记该素数的倍数为非素数  
19.             for(int j = i*i;j < MAXSIZE;j += i){  
20.                 Mark[j] = 1;  
21.             }  
22.         }  
23.     }  
24.     return index;  
25. }  

<3>方法三

这种方法比较好理解，初始时，假设全部都是素数，当找到一个素数时，显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数

把这些合数都筛掉，即算法名字的由来。但仔细分析能发现，这种方法会造成重复筛除合数，影响效率。

比如10，在i=2的时候，k=2*15筛了一次；在i=5，k=5*6 的时候又筛了一次。所以，也就有了快速线性筛法。

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1. int Mark[MAXSIZE];  
2. int prime[MAXSIZE];  
3.   
4. //判断是否是一个素数  Mark 标记数组 index 素数个数  
5. int Prime(){  
6.     int index = 0;  
7.     memset(Mark,0,sizeof(Mark));  
8.     for(int i = 2; i < MAXSIZE; i++)  
9.     {  
10.         //如果未标记则得到一个素数  
11.         if(Mark[i] == 0){  
12.             prime[index++] = i;  
13.         }  
14.         //标记目前得到的素数的i倍为非素数  
15.         for(int j = 0; j < index && prime[j] * i < MAXSIZE; j++)  
16.         {  
17.             Mark[i * prime[j]] = 1;  
18.             if(i % prime[j] == 0){  
19.                 break;  
20.             }  
21.         }  
22.     }  
23.     return index;  
24. }  

利用了每个合数必有一个最小素因子。每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次。所以为线性时间。
代码中体现在：
if(i%prime[j]==0)break;
prime数组 中的素数是递增的,当 i 能整除 prime[j]，那么 i*prime[j+1] 这个合数肯定被 prime[j] 乘以某个数筛掉。
因为i中含有prime[j], prime[j] 比 prime[j+1] 小。接下去的素数同理。所以不用筛下去了。
在满足i%prme[j]==0这个条件之前以及第一次满足改条件时,pr[j]必定是pr[j]*i的最小因子