数位DP初探

引言

数位DP的实质还是“枚举”，但利用记忆化搜索的方式使其具有DP的性质，从而降低了时间复杂度

基础

数位DP解决的问题一般类型是：统计一个区间[le,ri]内满足一些条件数的个数，如果暴力枚举即为：

int ans=0;    for(int i=le;i<=ri;++i)         if(solve(i)) ans++;

可见当le，ri差值较大时（如>1e8），暴力枚举是行不通的。

数位DP“枚举”的思路大致就是：

按照一个数字位数的高低，由高到底进行处理、枚举，并根据不同的状态（题意）进行记忆化操作（关键）。
其中stata变量的转移最为重要，也是DP的精华所在。不同背景下，转移方程（分类转移等）和记忆化方式（数组维数等）是多变的。

模板

typedef long long ll;int a[20];ll dp[20][state];//不同题目状态不同ll dfs(int pos,/*state 变量*/,bool lead,/*前导零*/,bool limit/*数位上界变量*/){    //不是每个题都要判断前导零    //递归边界，按位枚举，最低位是0，pos==-1说明这个数枚举完了    if(pos==-1) return 1;/*这里一般返回1，表示枚举的这个数是合法的，    这里就需要在枚举时必须每一位都要满足题目条件，也就是说当前枚举到pos位，    一定要保证前面已经枚举的数位是合法的。具体题目不同或者写法不同的话不一定要返回1 */    //可能需要剪枝    if(!limit&&!lead &&dp[pos][state]!=-1)        return dp[pos][state];//记忆化    int up=limit?a[pos]:9;//确定枚举上界    //注意要看limit，如果现在枚举的数是limited,则下一位枚举上界up可能不是9    ll ans=0;//answer    for(int i=0;i<=up;++i){//枚举，将不同的情况累加到ans上        if()...        else if()...        ans+=dfs(pos-1,/*状态转移*/,lead&&i==0,limit&&i==a[pos])//最后两个变量形式一般不变        /*这里一般变化较大        大概是，当前枚举的数位是i,然后根据题目的约束条件分类讨论        去计算不同情况下的个数，还要根据state变量来约束i使其合法        比如题目要求数位上不能出现78连续，那么state变量可以保存当前位        的前一位，然后分两类：前一位是7和前一位不是7，前一位是7时，后一位        是8的数就不计了        */    }    //计算完，记录状态    if(!limit&&!lead) dp[pos][state]=ans;    /*这里对应上面的记忆化，在一定条件下时记录，保证一致性，    如果约束条件不需要考虑lead，这里就是lead就完全不用考虑了*/    return ans;}ll solve(ll x){    int pos=0;    while(x)//得到数x的位数组,用于后面枚举    {        a[pos++]=x%10;//这里编号从1||0开始均可        x/=10;    }    return dfs(pos-1,/*状态*/,true,true);//刚开始传参最高位都是有限制并且有前导零的，比最高位还要高的一位视为0}int main(){    int le,ri;    while(scanf("%d %d",&le,&ri)&&le+ri)    {        memset(dp,-1,sizeof(dp));        printf("%d\n",solve(ri)-solve(le-1));//“前缀和做法”    }    return 0;}

例题  HD 2089

Problem Description

杭州人称那些傻乎乎粘嗒嗒的人为62（音：laoer）。
杭州交通管理局经常会扩充一些的士车牌照，新近出来一个好消息，以后上牌照，不再含有不吉利的数字了，这样一来，就可以消除个别的士司机和乘客的心理障碍，更安全地服务大众。
不吉利的数字为所有含有4或62的号码。例如：
62315 73418 88914
都属于不吉利号码。但是，61152虽然含有6和2，但不是62连号，所以不属于不吉利数字之列。
你的任务是，对于每次给出的一个牌照区间号，推断出交管局今次又要实际上给多少辆新的士车上牌照了。

 

Input

输入的都是整数对n、m（0<n≤m<1000000），如果遇到都是0的整数对，则输入结束。

 

Output

对于每个整数对，输出一个不含有不吉利数字的统计个数，该数值占一行位置。

 

Sample Input

1 1000 0

 

Sample Output

80

代码示例

//#define LOCAL#include<iostream>#include<cstdio>#include<math.h>#include<string>#include<string.h>#include<stdlib.h>#include<algorithm>using namespace std;int a[20];int dp[20][2];int dfs(int pos,int pre,int sta,bool limit){    if(pos==-1) return 1;    if(!limit&&dp[pos][sta]!=-1) return dp[pos][sta];    int up=limit?a[pos]:9;    int tmp=0;    for(int i=0;i<=up;++i){        if(pre==6&&i==2) continue;        if(i==4) continue;        tmp+=dfs(pos-1,i,i==6,limit&&i==a[pos]);    }    if(!limit) dp[pos][sta]=tmp;    return tmp;}int solve(int x){    int pos=0;    while(x)    {        a[pos++]=x%10;        x/=10;    }    return dfs(pos-1,-1,0,true);}int main(){    #ifdef LOCAL        freopen("read.txt","r",stdin);    #endif    int le,ri;    memset(dp,-1,sizeof(dp));//考虑位置    while(scanf("%d %d",&le,&ri)&&le+ri)    {        printf("%d\n",solve(ri)-solve(le-1));//“前缀和做法”    }    return 0;}

一种更好理解的写法

#include<cstdio>const int maxn=10;long long f[maxn][10];void getdp(){    f[0][0]=1;    for (int i=1;i<10;i++)    {        for (int j=0;j<10;j++)        {            if (j==4) f[i][j]=0;            else if (j==6)            {                for (int k=0;k<10;k++)                    f[i][j]+=f[i-1][k];                f[i][j]-=f[i-1][2];            }            else            {                for (int k=0;k<10;k++)                    f[i][j]+=f[i-1][k];            }        }    }}int a[maxn];long long solve(int n){    a[0]=0;    while (n)    {        a[++a[0]]=n%10;        n/=10;    }    a[a[0]+1]=0;    long long ans=0;    for (int i=a[0];i>=1;i--)    {        for (int j=0;j<a[i];j++)            if (j!=4 && !(a[i+1]==6 && j==2))                ans+=f[i][j];        if (a[i]==4) break;        if (a[i+1]==6 && a[i]==2) break;    }    return ans;}int main(){    int n,m;    getdp();    while (scanf("%d %d",&n,&m)==2 && (n||m))    {        long long k1=solve(m+1);        long long k2=solve(n);        //printf("::%d,%d::",k1,k2);        printf("%I64d\n",k1-k2);    }    return 0;}