2017 Multi-University Training Contest-第三场 Kanade's convolution（FWT）

题目链接：
HDU 6057

题意：
给你 A[0..2 m −1]  和 B[0..2 m −1] 。
先让你求 C[0..2 m −1] 。
C[0..2 m −1] 的运算方式为：
C[k]=∑ i and j=k A[i xor j]∗B[i or j] 。
看到卷积里面有位运算，就应该先想到FWT 。
最后让你输出∑ 2 m −1 i=0 C[i]∗1526 i  mod 998244353 。
其中，m<=19，0≤A[i],B[i]<998244353 。

题解：

官方题解。

FWT 。快速沃尔什变换。
看到卷积里面有位运算，就应该先想到FWT 。
对于任意两个数a,b ，我们有：

a and b=(a or b)−(a xor b)。 
我们枚举 x=a or b ，y=a xor b ，显然要求的条件是x and y=y 。

然后我们可以计算满足以上条件的(a,b) 有2 bit(y)  个。

于是可以将C[k]=∑ i and j=k A[i xor j]∗B[i or j] 重新写成：

C[k]=∑ x ∑ y [x and y=y]∗[x−y=k]∗A[y]∗B[x]∗2 bit(y)  

C[k]=∑ x ∑ y [x and y=y]∗[x xor y=k]∗A[y]∗B[x]∗2 bit(y)  

C[k]=∑ x xor y=k [x and y=y]∗B[x]∗A[y]∗2 bit(y)  

C[k]=∑ x xor y=k [bit(x)−bit(y)=bit(k)]∗B[x]∗A[y]∗2 bit(y)  

用FWT 计算即可。

快速沃尔什变换

时间复杂度：O(2 m ∗m 2 ) .

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int mod=998244353;const int N=(1<<20);int q_mod(int a, int b){    int res = 1;    while(b)    {        if(b&1)res=1LL*res*a%mod;        b>>=1;        a=1LL*a*a%mod;    }    return res;}int A[N],B[N],C[N];int n,m;int bit[N];int aa[N][21];int bb[N][21];int cc[N][21];ll ds[21];void FWT(int a[N][21],int flag){    for(int i=1;i<n;i<<=1)    {        for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))        {            for(int k=0;k<=i-1;k++)            {                for(int l=0;l<=m;l++)                {                    int x=a[j+k][l],y=a[i+j+k][l];                    a[j + k][l]=(x + y)%mod;                    a[i + j + k][l]=(x - y + mod) % mod;                }            }        }    }    if(flag==1)    {        int p=q_mod((mod+1)>>1,m);        for(int i=0;i<=n-1;i++)        {            for(int j=0;j<=m;j++)            {                a[i][j]=1LL*a[i][j]*p%mod;            }        }    }}/*2 1 2 3 45 6 7 8568535691*/int main(){    scanf("%d",&m);    n=1<<m;    for(int i=0;i<=n-1;i++)    {        scanf("%d",&A[i]);    }    for(int i=0;i<=n-1;i++){        scanf("%d",&B[i]);    }    for(int i=0;i<=n-1;i++)    {        bit[i]=bit[i>>1]+(i&1);    }    for(int i=0;i<=n-1;i++)    {        A[i]=1LL*A[i]*(1<<bit[i])%mod;    }    for(int i=0;i<=n-1;i++)    {        aa[i][bit[i]]=A[i];        bb[i][bit[i]]=B[i];    }    FWT(aa,0);    FWT(bb,0);    for(int i=0;i<=n-1;i++)    {        memset(ds,0,sizeof(ds));         for(int j=0;j<=m;j++)         {            for(int k=0;k<=j;k++)             {                ds[j-k]=(ds[j-k]+1LL*bb[i][j]*aa[i][k]);                if(ds[j-k]>=1LL<<63)                {                    ds[j-k]%=mod;                }            }        }          for(int j=0;j<=m;j++) cc[i][j]=ds[j]%mod;    }    FWT(cc,1);    for(int i=0;i<=n-1;i++){        C[i]=cc[i][bit[i]];    }    int ans=0;    int base=1;    for(int i=0;i<=n-1;i++){        ans=(ans+1LL*C[i]*base)%mod;        base=base*1LL*1526LL%mod;    }    printf("%d\n",ans);    return 0;}