关于辗转相除法求gcd的证明
来源:互联网 发布:情话知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/04/30 11:55
今晚调半平面交死调不出,不知为什么想到了这个,闲着蛋疼来写一发(其实就是骗访问量)
其实是证明(a,b)=(b%a,a)
假设(a,b)=d,b=ak+r
即(a,ak+r)=d。证(a,r)=d。
因为d|b,d|a,所以d|ak+r
显然有d|r
可以用反证法:设d整除ak且不整除r,但d|ak+r
即ak%d=0,r%d!=0,显然(ak+r)%d!=0。
所以d|r且d|a,一定是a,r的一个公因数。
再证明d一定是最大的,依然用反证法。
设D>d且是a,r的公因数。
显然D|(ak+r)=>D|b
所以D也是a,b的公因数,矛盾。
综上所述,(a,b)=(b%a,a)。
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