2017 Multi-University Training Contest

来源：互联网发布：学建筑学不下去知乎编辑：程序博客网时间：2024/06/10 16:19

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题目意思：

给出n个数，求任意区间【left ，right】的AC率中最小的那个值。

区间AC率 = distinct【left,right】/(right-left+1)

distinct的中文意思是唯一的，特殊的，表示区间【left,right】中不同数字的个数。

官方题解：

我们求AC率，AC无非就是0~1间的一个数，因此采用二分答案的方法求解。

现在假设答案为mid.

则 distinct【left,right】/（right-left+1） <= mid ,则说明答案是小于mid的。

上面的式子可以变成下面的式子。

distinct【left,right】 <= mid*(right-left+1)

distinct【left,right】+ mid*left <= mid*(right+1)

因此确定一个mid值，我们构建一颗空的线段树，每个节点的值先赋值为mid*left,其中left为当前节点

的左边界，对于线段树每个节点我们存放的是，distinct【left,right】+mid*left，对于这些节点，我们

维护的是节点所代表区间的最小值，因为固定右边界的时候，右侧mid*(right+1)是固定的，我们需要

让左侧尽量小。

那么需要更新的就是distinct【left,right】区间中的值。我们可以通过遍历右边界，数组中的每个数都可以

作为有边界，对于新加入线段树的a[i]。pre[a[i]]记录前一次a[i]这个数字出现的位置，因此我们知道在这次

遇到a[i]之前，pre[a[i]]+1 ~ i，这些位置都没有出现过a[i]这个数字，所以在线段树中区间pre[a[i]]~i，应该

加上1，就是a[i]这个数字。

更新完后，我们就可以查询【1，i】这个区间，原来我比较不理解这里，后来想明白了，1~i，这个区间

求解的时候，这个区间包含许多子区间，例如【2，i】,【3，i】，【4，i】~【i,i,】。这样的话每次插入第

i个数，相当于从这些区间中求了一个distinct【left,right】+mid*left 的最小值。

在循环过程中，只要有一个值小于mid*(right+1),就说明我们假设的值偏大了，循环完了也没出现这种情况

说明假设的值偏小了。

强调两点线段树中的操作：

push_up操作，即更新当前节点的值。

我们要维护线段树区间最小值，此函数主要用于建树过程和更新过程，由于建树过程是个递归过程，

当建完当前节点的左右子树的时候，当前节点的最小值就是左右子树节点中的最小值。

当进行区间更新操作的时候，由于整个区间都加上的一个相同的值，则区间的值就改变了，则其父母

的值都需要进行更新，因此更新完左右子树后，就要跟新当前节点的值。

push_down操作，下推懒惰标记，主要用于更新操作和查询操作，当整个区间加上同一个值的时候，

我们知道其子区间也同样需要加上相应的值，懒惰标记就是lazy【】数组，里面存放着某个节点所代表

的区间要加上的值。

注意：精度问题，二分次数越多，答案越接近正确答案，但也不能过高，过高可能超时，

具体二分次数，差不多试一下就可以试出来。

补充一点：今天队友问了我这个题目，我对这个题目真的是大彻大悟，所有人的博客上都没有写明这些东西。

原来我以为，插入一个数a[i]，pre[a[i]]~i这个区间多要加1，当前再标记下退后，所有这个区间内的叶子节点

都会加1，然而我理解错，对于叶子节点我认为它只有一个数，所以distinct只能是1，后来下推标记后，我发现

他们都加了好多数，到这我懵逼了，不过现在终于想明白了，当插入第i个树的时候，叶子节点所维护的distinct

其实是distinct[now,i]。就是now这个位置到i这个位置不同数的个数。叶子节点的值就是mid*now + distinct[now,i].

可以看这组数据，1 2 3 2 1.

可以看出遍历到第num个数的时候，对于叶子节点K，0<K<=num。在更新和下推

标记完成后，叶子节点K维护的值是mid*K + distinct[K,num]。

所以遍历到第一个数字的时候，我们处理了[1,1]，这个区间，遍历到第二个数字的

时候，我们可以获取[1,2],[2,2]这些区间，遍历到第三个数字的时候，我们可以获取

【1，3】，【2，3】，【3，3】.这样下去，遍历数组中每一个数，就可以考虑到

所有的区间。因此就求解出了任意区间的AC率，又因为线段树维护最小值，所以

就可以得到最小的AC率。

AC代码：

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <string.h>#include <algorithm>#define eps 1e-6#define inf 0x3f3f3f3f#define lchild left,mid,root<<1#define rchild mid+1,right,root<<1|1using namespace std;const int maxn = 60010;int a[maxn];double Min[maxn<<2];   ///线段树节点值double lazy[maxn<<2];  ///懒惰标记数组int pre[maxn];         ///pre[i]用来存放i这个数上一次出现的时候在数组中的位置///更新当前节点void push_up(int root){    Min[root] = min(Min[root<<1],Min[root<<1|1]);}///懒惰标记下推void push_down(int root){    if(lazy[root]>eps)     {        Min[root<<1] += lazy[root];        lazy[root<<1] += lazy[root];        Min[root<<1|1] += lazy[root];        lazy[root<<1|1] += lazy[root];        lazy[root] = 0;    }}///构建线段树void build(int left,int right,int root,double temp){    Min[root] = left*temp;    lazy[root] = 0;    if(left == right) return;    int mid = (left+right)>>1;    build(lchild,temp);    build(rchild,temp);    push_up(root);}///区间更新，同时加上addvoid update(int L,int R,int add,int left,int right,int root){    if(L<=left && right<=R)    {        Min[root] += add;        lazy[root] += add;        return;    }    ///如果父区间都加上了add,则其子区间也要加上add,所以要下推懒惰标记。    push_down(root);     int mid = (left+right)>>1;    ///更新左右子树。    if(L<=mid) update(L,R,add,lchild);    if(R>mid) update(L,R,add,rchild);    push_up(root);}///区间查询操作double query(int L,int R,int left,int right,int root){    if(L<=left && right<=R)        return Min[root];    push_down(root); ///避免要查询的区间有懒惰标记没有下推。    double ans = inf*1.0;    int mid = (left+right)>>1;    if(L<=mid) ans = min(ans,query(L,R,lchild));    if(R>mid) ans = min(ans,query(L,R,rchild));    return ans;}///判读二分答案偏大，偏小。bool check(int n,double temp){    build(1,n,1,temp);    memset(pre,0,sizeof(pre));    for(int i = 1; i <= n; i++)    {        update(pre[a[i]]+1,i,1,1,n,1);        double minimum = query(1,i,1,n,1);        pre[a[i]] = i;        if(temp*(i+1)-minimum >= eps)            return true;    }    return false;}int main(){    int t,n;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        scanf("%d",&n);        for(int i = 1; i <= n; i++)            scanf("%d",&a[i]);        double L,R,mid,ans;        L = 0;        R = 1;        for(int i = 0; i < 30; i++)        {            mid = (L+R)/2.0;            if(check(n,mid)) R=ans=mid;            else L=ans=mid;        }        printf("%.10lf\n",ans);    }    return 0;}

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