96. Unique Binary Search Trees

【题目】

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1    \       /     /      / \      \     3     2     1      1   3      2    /     /       \                 \   2     1         2                 3

【分析】

如果把上例的顺序改一下，就可以看出规律了。

比如，以 1 为根的树的个数，等于左子树的个数乘以右子树的个数，左子树是 0 个元素的树，右子树是 2 个元素的树。

以 2 为根的树的个数，等于左子树的个数乘以右子树的个数，左子树是 1个元素的树，右子树也是 1 个元素的树。依此类推。
当数组为 1; 2; 3; .....; n 时，基于以下原则的构建的 BST 树具有唯一性：以 i 为根节点的树，其左子树由 [1, i-1] 构成，其右子树由 [i+1, n] 构成。
定义 f (i) 为以 [1; i] 能产生的 Unique Binary Search Tree 的数目，则
如果数组为空，毫无疑问，只有一种 BST，即空树，f (0) = 1。
如果数组仅有一个元素 1，只有一种 BST，单个节点，f (1) = 1。
如果数组有两个元素 1,2，那么有如下两种可能

f (2) = f (0) * f (1) ，1 为根的情况
        + f (1) * f (0) ， 2 为根的情况

再看一看 3 个元素的数组，可以发现 BST 的取值方式如下：
f (3) =    f (0) * f (2) ，1 为根的情况
           + f (1) * f (1) ，2 为根的情况
           + f (2) * f (0) ，3 为根的情况

所以，由此观察，可以得出 f 的递推公式为

至此，问题划归为一维动态规划。

【代码】

class Solution {public:    int numTrees(int n) {        vector<int> res(n+1,0);        res[0]=1;        res[1]=1;        for(int i=2;i<=n;i++){            for(int j=1;j<=i;j++)                res[i]+=res[j-1]*res[i-j];        }        return res[n];    }};