最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法（理解）

Floyd-Warshall——只有五行的算法

求任意两个点之间的最短路程。 从i号顶点到j号顶点只经过前k号顶点的最短路程，这是一种动态规划的思想。

for(k=1;k<=n;k++)for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];

n个顶点，m条边，接下来的m行每一行有3个数，顶点u，v以及他们之间的距离 l。

#include<iostream>using namespace std;int e[111][111];int n,m,u,v,l;const int inf=999999;void init(){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j)e[i][j]=0;elsee[i][j]=inf;}}}void floyd(){int i,j,k;for(k=1;k<=n;k++){for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){if(e[i][k]<inf&&e[k][j]<inf&&e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];}}}}int main(){int i,j;cin>>n>>m;init();//读入边 for(i=1;i<=m;i++){cin>>u>>v>>l;e[u][v]=l;}floyd();for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){cout<<e[i][j]<<endl;}}return 0;}

Dijkstra算法
——单源最短路径

每次找到离源点最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。 

1.把所有的顶点分为两部分：已知最短路程的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。 最开始，P集合中只有源点一个顶点，用visit[i]数组来记录哪些点在集合P。visit[i]=1表示这个顶点在P集合中，visit[i]=0表示这个顶点在Q集合中。

2.设置源点s到自己的最短路径为0，即dis[s]=0,若存在有源点能直接到达的顶点i，则把dis[i]设为e[s][i],同时把所有其他（源点不能到达的）顶点的最短路径设为inf。

3.在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u（dis[u]最小）加入到集合P，并考察所有以点u为起点的边，对每条边进行松弛操作。例如:存在一条u到v的边，通过u->v添加到尾部来拓展一条从s到v的路径，这条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。如果它的值比目前已知的dis[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前dis[v]中的值。

4.重复第3步，如果集合Q为空，算法结束，最终dis数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。

代码实现如下：

#include<iostream>using namespace std;int e[111][111],dis[111],visit[111];int n,m;const int inf=999999;void init1(){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j)e[i][j]=0;elsee[i][j]=inf;}}}void init2(){//初始化dis数组，1号顶点到其余各个顶点的初始距离 for(int i=1;i<=n;i++){dis[i]=e[1][i];}//初始化visit数组for(int i=1;i<=n;i++){visit[i]=0;}visit[1]=1; }void dijkstra(){int i,j,u,v,min;for(i=1;i<=n-1;i++){//找离1号顶点最近的顶点 min=inf;for(j=1;j<=n;j++){if(visit[j]==0&&dis[j]<min){min=dis[j];u=j;}}visit[u]=1;for(v=1;v<=n;v++){if(e[u][v]<inf){if(visit[v]==0&&dis[v]>dis[u]+e[u][v])dis[v]=dis[u]+e[u][v];}}}}int main(){int i,j,t1,t2,t3;cin>>n>>m;init1();//读入边 for(i=1;i<=m;i++){cin>>t1>>t2>>t3;e[t1][t2]=t3;}init2(); dijkstra();for(i=1;i<=n;i++){cout<<dis[i]<<endl;}return 0;}