有关散列表

散列表的概念
注意：
　 ①由同一个散列函数、不同的解决冲突方法构造的散列表，其平均查找长度是不相同的。
　②散列表的平均查找长度不是结点个数n的函数，而是装填因子α的函数。因此在设计散列表时可选择α以控制散列表的平均查找长度。
通过链接法解决冲突：成功查找的期望查找长度O(1+a), 不成功查找的平均查找长度也为O(1+a)。
开放寻址解决冲突：引入探查序列，对于a<1的开放寻址，成功查找的平均查找长度1/a(1+ln(1/(1-a)); 不成功的查找长度为1/(1-a)

 　③ α的取值 　α越小，产生冲突的机会就小，但α过小，空间的浪费就过多。只要α选择合适，散列表上的平均查找长度就是一个常数，即散列表上查找的平均时间为O(1)。 　④ 散列法与其他查找方法的区别

除散列法外，其他查找方法有共同特征为：均是建立在比较关键字的基础上。
其中顺序查找平均时间为O(n)；
其余的查找均是对有序集合的查找，每次关键字的比较有”=”、”<”和”>”三种可能，且每次比较后均能缩小下次的查找范围，故查找速度更快，其平均时间为O(lgn)。
而散列法是根据关键字直接求出地址的查找方法，其查找的期望时间为O(1)。

1、散列表
　设所有可能出现的关键字集合记为U(简称全集)。实际发生(即实际存储)的关键字集合记为K（|K|比|U|小得多）。
　散列方法是使用函数h将U映射到表T[0..m-1]的下标上（m=O(|U|)）。这样以U中关键字为自变量，以h为函数的运算结果就是相应结点的存储地址。从而达到在O(1)时间内就可完成查找。
其中：
　 ① h：U→{0，1，2，…，m-1} ，通常称h为散列函数(Hash Function)。散列函数h的作用是压缩待处理的下标范围，使待处理的|U|个值减少到m个值，从而降低空间开销。
　② T为散列表(Hash Table)。
　③ h(Ki)(Ki∈U)是关键字为Ki结点存储地址(亦称散列值或散列地址)。
　④ 将结点按其关键字的散列地址存储到散列表中的过程称为散列(Hashing)

3、散列表的冲突现象
（1）冲突
　两个不同的关键字，由于散列函数值相同，因而被映射到同一表位置上。该现象称为冲突(Collision)或碰撞。发生冲突的两个关键字称为该散列函数的同义词(Synonym)。
　【例】上图中的k2≠k5，但h(k2)=h(k5)，故k2和K5所在的结点的存储地址相同。

（2）安全避免冲突的条件
　最理想的解决冲突的方法是安全避免冲突。要做到这一点必须满足两个条件：
①其一是|U|≤m
②其二是选择合适的散列函数。
　 这只适用于|U|较小，且关键字均事先已知的情况，此时经过精心设计散列函数h有可能完全避免冲突。

（3）冲突不可能完全避免
　通常情况下，h是一个压缩映像。虽然|K|≤m，但|U|>m，故无论怎样设计h，也不可能完全避免冲突。因此，只能在设计h时尽可能使冲突最少。同时还需要确定解决冲突的方法，使发生冲突的同义词能够存储到表中。

（4）影响冲突的因素
　冲突的频繁程度除了与h相关外，还与表的填满程度相关。
　设m和n分别表示表长和表中填人的结点数，则将α=n/m定义为散列表的装填因子(Load Factor)。α越大，表越满，冲突的机会也越大。通常取α≤1。
散列函数的构造方法

1、散列函数的选择有两条标准：简单和均匀。
　简单指散列函数的计算简单快速；
　均匀指对于关键字集合中的任一关键字，散列函数能以等概率将其映射到表空间的任何一个位置上。也就是说，散列函数能将子集K随机均匀地分布在表的地址集{0，1，…，m-1}上，以使冲突最小化。

2、常用散列函数
　为简单起见，假定关键字是定义在自然数集合上。

（1）平方取中法
　具体方法：先通过求关键字的平方值扩大相近数的差别，然后根据表长度取中间的几位数作为散列函数值。又因为一个乘积的中间几位数和乘数的每一位都相关，所以由此产生的散列地址较为均匀。
　【例】将一组关键字(0100，0110，1010，1001，0111)平方后得
(0010000，0012100，1020100，1002001，0012321)
　若取表长为1000，则可取中间的三位数作为散列地址集：
(100，121，201，020，123)。
相应的散列函数用C实现很简单：
int Hash(int key){ //假设key是4位整数
key*=key； key/=100； //先求平方值，后去掉末尾的两位数
return key％1000； //取中间三位数作为散列地址返回
}

（2）除余法
　该方法是最为简单常用的一种方法。它是以表长m来除关键字，取其余数作为散列地址，即 h(key)=key％m
　该方法的关键是选取m。选取的m应使得散列函数值尽可能与关键字的各位相关。m最好为素数。
　【例】若选m是关键字的基数的幂次，则就等于是选择关键字的最后若干位数字作为地址，而与高位无关。于是高位不同而低位相同的关键字均互为同义词。
　【例】若关键字是十进制整数，其基为10，则当m=100时，159，259，359，…，等均互为同义词。

（3）相乘取整法
　该方法包括两个步骤：首先用关键字key乘上某个常数A(0

define NIL -1 //空结点标记依赖于关键字类型，本节假定关键字均为非负整数

define M 997 //表长度依赖于应用，但一般应根据。确定m为一素数

typedef struct{ //散列表结点类型
KeyType key；
InfoType otherinfo； //此类依赖于应用
}NodeType；
typedef NodeType HashTable[m]； //散列表类型

2、基于开放地址法的查找算法
　散列表的查找过程和建表过程相似。假设给定的值为K，根据建表时设定的散列函数h，计算出散列地址h(K)，若表中该地址单元为空，则查找失败；否则将该地址中的结点与给定值K比较。若相等则查找成功，否则按建表时设定的处理冲突的方法找下一个地址。如此反复下去，直到某个地址单元为空(查找失败)或者关键字比较相等(查找成功)为止。

（1）开放地址法一般形式的函数表示
int Hash(KeyType k，int i)
{ //求在散列表T[0..m-1]中第i次探查的散列地址hi，0≤i≤m-1
//下面的h是散列函数。Increment是求增量序列的函数，它依赖于解决冲突的方法
return(h(K)+Increment(i))％m； //Increment(i)相当于是di
}
若散列函数用除余法构造，并假设使用线性探查的开放定址法处理冲突，则上述函数中的h(K)和Increment(i)可定义为：
int h(KeyType K){ //用除余法求K的散列地址
return K％m；
}

int Increment(int i){//用线性探查法求第i个增量di
return i; //若用二次探查法，则返回i*i
}
（2）通用的开放定址法的散列表查找算法：
int HashSearch(HashTable T，KeyType K，int *pos)
{ //在散列表T[0..m-1]中查找K，成功时返回1。失败有两种情况：找到一个开放地址
//时返回0，表满未找到时返回-1。 *pos记录找到K或找到空结点时表中的位置
int i=0； //记录探查次数
do{
*pos=Hash(K，i)； //求探查地址hi
if(T[*pos].key==K) return l； //查找成功返回
if(T[*pos].key==NIL) return 0；//查找到空结点返回
}while(++i < m) abp=”862” 最多做m次探查
return -1； //表满且未找到时，查找失败
} //HashSearch

注意：
　上述算法适用于任何开放定址法，只要给出函数Hash中的散列函数h(K)和增量函数Increment(i)即可。但要提高查找效率时，可将确定的散列函数和求增量的方法直接写入算法HashSearch中，相应的算法【参见习题】。

3、基于开放地址法的插入及建表
　建表时首先要将表中各结点的关键字清空，使其地址为开放的；然后调用插入算法将给定的关键字序列依次插入表中。
　插入算法首先调用查找算法，若在表中找到待插入的关键字或表已满，则插入失败；若在表中找到一个开放地址，则将待插入的结点插入其中，即插入成功。
void Hashlnsert(HashTable T，NodeTypene w)
{ //将新结点new插入散列表T[0..m-1]中
int pos，sign；
sign=HashSearch(T，new.key，&pos)； //在表T中查找new的插入位置
if(!sign) //找到一个开放的地址pos
T[pos]=new； //插入新结点new，插入成功
else //插人失败
if(sign>0)
printf(“duplicate key!”)； //重复的关键字
else //sign<0
Error(“hashtableoverflow!”)； //表满错误，终止程序执行
} //Hashlnsert

void CreateHashTable(HashTable T，NodeType A[]，int n)
{ //根据A[0..n-1]中结点建立散列表T[0..m-1]
int i
if(n>m) //用开放定址法处理冲突时，装填因子α须不大于1
Error(“Load factor>1”)；
for( i = 0; i < m；i++)
T[i].key=NIL； //将各关键字清空，使地址i为开放地址
for(i=0;i < n；i++) abp=”894” 依次将a[0..n-1]插入到散列表t[0..m-1]中
Hashlnsert(T，A[i])；
} //CreateHashTable

4、删除
　基于开放定址法的散列表不宜执行散列表的删除操作。若必须在散列表中删除结点，则不能将被删结点的关键字置为NIL，而应该将其置为特定的标记DELETED。
　因此须对查找操作做相应的修改，使之探查到此标记时继续探查下去。同时也要修改插人操作
　将新结点插入其中。这样做无疑增加了时间开销，并且查找时间不再依赖于装填因子。
　因此，当必须对散列表做删除结点的操作时，一般是用拉链法来解决冲突。
　5、性能分析
　插入和删除的时间均取决于查找，故下面只分析查找操作的时间性能。
　虽然散列表在关键字和存储位置之间建立了对应关系，理想情况是无须关键字的比较就可找到待查关键字。但是由于冲突的存在，散列表的查找过程仍是一个和关键字比较的过程，不过散列表的平均查找长度比顺序查找、二分查找等完全依赖于关键字比较的查找要小得多。

（1）查找成功的ASL
　散列表上的查找优于顺序查找和二分查找。
　　【例】在例9.1和例9.2的散列表中，在结点的查找概率相等的假设下，线性探查法和拉链法查找成功的平均查找长度分别为：
ASL=(1×6+2×2+3×l+9×1)/10=2.2 //线性探查法
ASL=(1×7+2×2+3×1)/10=1.4 //拉链法
　　而当n=10时，顺序查找和二分查找的平均查找长度(成功时)分别为：
ASL=(10+1)/2=5.5 //顺序查找
ASL=(1×l+2×2+3×4+4×3)/10=2.9 //二分查找，可由判定树求出该值

（2） 查找不成功的ASL
　对于不成功的查找，顺序查找和二分查找所需进行的关键字比较次数仅取决于表长，而散列查找所需进行的关键字比较次数和待查结点有关。因此，在等概率情况下，也可将散列表在查找不成功时的平均查找长度，定义为查找不成功时对关键字需要执行的平均比较次数。
　　【例】例9.1和例9.2的散列表中，在等概率情况下，查找不成功时的线性探查法和拉链法的平均查找长度分别为：
ASLunsucc=(9+8+7+6+5+4+3+2+1+1+2+1+10)/13=59/13≈4.54
ASLunsucc=(1+0+2+1+0+1+1+0+0+0+1+0+3)/13≈10/13≈0.77
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