单调队列

预备知识介绍：

1. 队列

• 队列 (queue) 是一种特殊的线性表，是符合“先进先出”(first in first out)原则的基本数据结构，因此也常被称作 FIFO 队列或公平队列。
• 一个队列由队首 (front)、队尾 (rear) 和储存元素的线性表构成。当元素入队时，队尾后移并向线性表中添加新元素；当元素出队时，删除线性表中队首指向的元素，队首后移。一般地，只在队尾入队，在队首出队。对队中元素的讨论都必须建立在队列非空的基础上，否则没有意义。
• C++ STL 中内置了 queue 容器，实现了普通队列的基本操作，使用时需引用 头文件。

2. 双端队列

• 双端队列 (deque) 打破了队列的出入队位置限制，允许元素从队首入队或从队尾出队。类似地，在 C++ STL 中内置了 deque 容器，实现了双端队列。

3. 单调队列

• 单调队列 (monotonic queue) 是指一种所储存的元素具有单调性的特殊双端队列，可根据具体的元素单调性分为单调递增队列、单调递减队列、单调不增队列、单调不减队列四种。前两种要求元素间具有严格的大小关系，不允许相等的元素同时出现在队列中，而后两者允许。
• 单调队列常常用于维护一个具有特殊性质的区间，求区间极值。一般会对区间长度或其他因素进行限制，因此队列中的元素常常为 (pos,val) 的二元组。在任意时刻，队列中元素的两个值都分别具有单调性，但其性质可能不同。如 pos 一般为单调上升，而 val 则四种情况都有可能。
• 新元素入队时，为了维护队列的单调性，要不断将队尾元素出队，直到当前元素入队后不会破坏队列单调性为止。取值计算时，为了保证对区间的限制是合法的，要将队首元素不断出队，直到队首元素满足对区间的限制为止。出队和入队的顺序可以调换。详见下面的例子。
• 在竞赛中单独考察单调队列的情况极少出现，但往往会配合动态规划，对其时间复杂度进行优化。近年来，NOI 系列赛事和部分省选都考察过。

举例分析

下面试举一例，分析单调队列的具体题目中的应用。

给定 nn 个数，分别为 a_1, a_2, \ldots, a_na1,a2,…,an。要求输出每相邻 kk 个数中的最大值。换言之，即求 max(a_1, a_2, \ldots, a_k),\\ max(a_2, a_3, \ldots, a_{k+1}),\\ \ldots\\ max(a_{n-k+1}, a_{n-k+2}, \ldots, a_n).

max(a1,a2,…,ak),max(a2,a3,…,ak+1),…max(an−k+1,an−k+2,…,an).

。

朴素的算法为枚举所有待求的 max(a_i, a_{i+1}, \ldots, a_{i+k-1})max(ai,ai+1,…,ai+k−1) 中的 ii，考察连续的 kk 个数，即可得解，总考察次数为 (n-k+1)\times k(n−k+1)×k，时间复杂度为 O(n\times k)O(n×k) 级别，当数据范围较大时会 TLE。

我们发现，求 max(a_1, a_2, \ldots, a_k)max(a1,a2,…,ak) 与 max(a_2, a_3, \ldots, a_{k+1})max(a2,a3,…,ak+1) 中都有 a2,…,ak 这个公共部分。在朴素算法中，它们被重复考察了，显然会造成大量时间浪费，导致效率低下。为什么不能把考察结果保存下来呢？

其实我们的任务是维护一个长度为 k 的区间，要求区间内数字的最大值，这其实就是一个单调队列的基本应用。

我们不妨维护这样一个单调队列 Q，使得任意时刻 Q 都满足：

• 队尾的 pos 减去队首的 pos 都必须小于 k
• 队中的 val 保持单调递减（为什么不用单调不增？）

以 n=10,k=3,a[]={8，7，12，5，4，2，16，9，17，8} 为例，分析队列的维护和问题的求解过程：

i=1：插入 8，队列为：（(1,8)） { i=1<3，不输出队首 8}
i=2：插入 7，队列为：（(1,8)，(2,7)） { i=2<3，不输出队首 8}
i=3：插入 12，队列为：（(3,12)，(1,8)，(2,7)）{当前的 val 12 大于 7 和 8，依次删除队尾的 7 和 8，并插入 12 到队列，且 i=3 了，故输出队首的 12}
i=4：插入 5，队列为：（(3,12)，(4,5)） { i≥3，输出队首 12}
i=5：插入 4，队列为：（(3,12)，(4,5)，(5,4)） { i≥3，输出队首 12}
i=6：插入 2，队列为：（(3,12)，(4,5)，(5,4)，(6,2)）{ i≥3，2 插入后，因为当前下标 6 减去队首元素的 pos 3 等于 k，故队首元素出队，输出此时的队首 5，}
i=7：插入 16，队列为：（(7,16)，(4,5)，(5,4)，(6,2)） {当前的 val 16 大于队尾的 2、4、5，依次删除 2、4、5，并输出队首 16}
i=8：插入 9，队列为：（(7,16)，(8,9)） { i≥3，输出队首 16}
i=9：插入 17，队列为：（(9,17)，(7,16)，(8,9)） { i≥3，输出队首 17}
i=10：插入 8，队列为（(9,17)，(10,8)） { i≥3，输出队首 17}

在这个过程中，可以发现队列 Q 始终要满足我们上面提出的限制条件。一旦出现非法情况，就要作出相应的出队处理。

因此作为合法的单调递减队列，任意时刻处理完之后队首元素的 val 值总是当前区间内的最大值，即当前的理想答案。

下面来思考上面的问题，为什么不使 val 保持单调不增队列呢？这个问题是我自己在读论文学习的时候想到的。

后来仔细想想，其实也是可以的，但单调递减会更好。不妨这样考虑：有元素 (posi,vali) 和 (posj,valj)，且 posi<posj，vali=valj。

因为我们要求的是最大值，看上去 i 和 j 一样好，其实不然。不难想象，随着区间的向右移动，i 会比 j 更早被淘汰。既然如此，为什么不使i趁早出队呢？

顺便提一句，类似于单调队列，还有一种单调栈，原理和单调队列极其相似，只是通常情况下少了对于区间的限制，如 RQNOJ“诺诺的队列”一题。

为了方便理解，甚至可以把单调栈看成单调队列的一个特殊版本，只允许在队尾出入队。

最后来考虑时间复杂度的问题。

我最初在小学阶段学习单调队列的时候在担心一个问题：对于每一个新元素，维护单调队列都要进行一定的出入队操作，会不会出现最坏情况导致很慢？

其实是不可能的。因为每个元素是被按照一定的顺序依次考虑的，最多入队一次，出队一次，总的时间复杂度其实是 O(n) 级别的。

相比于线段树、胜者树、堆等传统的维护最值数据结构，单调队列具有其独特的优点：编程复杂度、时间复杂度和空间复杂度都比较低。但是其短处也是不可不考虑的，即单调队列是离线的，无法像上述数据结构一样支持动态操作。

当然有时候也可以通过灵活使用单调队列，发挥出很大的作用。总的来说，在具体的题目中，还是应该具体考虑，分析题目的特点，选择最合适的方法。熟练掌握各种常用数据结构的特点及编写对 NOIp 提高组及以上级别的选手还是很有必要的。

参考文献

• 应用单调队列求解指定区间的最值. 湖南省醴陵市第一中学: 曾妞妞.
• 论单调队列在高效动态规划算法中的应用. 绵阳中学: 李青林.