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来源：互联网发布：淘宝商品数据包下载编辑：程序博客网时间：2024/06/03 15:39

题目链接：

题目大意：

思路：

根据二项式定理，我们可以得到：

(n+1)k=C0knk+C1knk−1+C2knk−2+...+Ck−1kn+1

于是可以构造变化矩阵：

⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ C 0 k 00 . . . 01 C 1 k C 0 k - 1 0 . . . 00 C 2 k C 1 k - 1 C 0 k - 2 . . . 00 C 3 k C 2 k - 1 C 1 k - 2 . . . 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 . . . 11 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ * ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ n k n k - 1 . . . n 1 s u m ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ (n + 1) k (n + 1) k - 1 . . . n + 1 1 s u m ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

sum 是每一项N^K的累加和。

对于操作矩阵可以杨辉三角可以快速得到

即C（m，k）=C（m-1，k-1）+C（m，k-1）；

#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <iostream>using namespace std;#define ll long long#define N 60const ll mod =(1ll<<32);ll n,k;struct Matrix{    ll r,c;    ll m[N][N];    Matrix(){}    Matrix(ll r,ll c):r(r),c(c){}    Matrix operator *(const Matrix& B)//乘法    {        Matrix T(r,B.c);        for(int i=1;i<=T.r;i++)        {            for(int j=1;j<=T.c;j++)            {                ll tt = 0;                for(int k=1;k<=c;k++)                    tt +=( m[i][k]*B.m[k][j]) % mod;                T.m[i][j] = tt % mod;            }        }        return T;    }    Matrix Unit(ll h) // 对角线矩阵    {        Matrix T(h,h);        memset(T.m,0,sizeof(T.m));        for(int i=1;i<=h;i++)            T.m[i][i] = 1;        return T;    }    Matrix Pow(ll n)  //矩阵幂    {        Matrix P = *this,Res = Unit(r);        while(n!=0)        {            if(n&1)                Res =Res*P;            P = P*P;            n >>= 1;        }        return Res;    }    void Print()//输出    {        for(int i=1;i<=r;i++)        {            for(int j=1;j<=c;j++)                printf("%d ",m[i][j]);            printf("\n");        }    }}Single;ll power(ll a,ll n)  //矩阵幂    {      ll res=1;        while(n)        {            if(n&1)                res = res*a%mod;            a= a*a%mod;            n >>= 1;        }        return res;    }int main(){int t;scanf("%d",&t);int kase=1;while(t--){scanf("%lld%lld",&n,&k);if(k == 0){        printf( "Case %d: %lld\n" , kase++ , n % mod );continue;}if(n==1){printf( "Case %d: 1\n" , kase++  );continue;}Matrix res(1,k+2),ans(k+2,k+2);for(int i=1;i<=k+1;i++)res.m[1][i]=power(2,k-i+1);res.m[1][k+2]=1;memset(ans.m,0,sizeof ans.m);ans.m[k+2][k+2]=ans.m[1][k+2]=1;for(int i=k+1;i>=1;i--)for(int j=i;j>=1;j--){ans.m[i][j]=ans.m[i][j+1]+ans.m[i+1][j+1];}if(n>1)ans=ans.Pow(n-1);res=res*ans;printf( "Case %d: %lld\n" , kase++ , res.m[1][k+2] % mod );}return 0;}/*33 14 23 3*/

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