[原创]理解泛函的概念和能量…

原文地址：[原创]理解泛函的概念和能量泛函的梯度下降流作者：小腹黑zju

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1. 泛函的概念

       函数y=f(x)是一个变量x∈R到y∈R的一个映射，而泛函是表示一个空间集合u∈R^N到R的映射。说起来比较抽象，以一个例子说明：可以想象一个三维空间内有无数条不同的曲线，这些曲线组成了空间集合u，每一条曲线表示该集合u的一个元素（u类似于函数中的x变量，具体一条曲线对应x变量的某个具体值），这些曲线在实数R上都有一个值与之对应，当曲线变化时，对应的值也相应发生变化。

       值得一提的是，由于u集合中的每条曲线对应一个值，该值实际上是表征了具体某条直线的特性（比如曲线的总长），这是一条曲线的整体对应了某个值，所以当具体一条曲线上的某个变量在变动时，该曲线对应的值是不变的，也就是说曲线上的变量变动对泛函无意义，而是整条曲线作为变量（比如一条曲线变成了集合u中的另一条曲线）对泛函值的改变才有贡献。这也就是为什么称泛函是“函数的函数”的原因（第一个函数表示u集合中的各条曲线，第二个函数表示曲线集合到实数R的映射）。

 

2.泛函的梯度下降流

  为了更好地理解泛函的梯度下降流，首先来看函数的导数。什么是函数的导数？

      函数的导数其实就是函数的增加方向。比如u=x²+y²-9的函数，用三维图表达该函数如下图。u的导数u'=2x+2y,指示的是u值的增加方向，这里的x,y表示向量，亦可写成u'=(2x,2y)。

 

      类似于函数导数的概念，泛函的一阶变分（即类似于一阶导数）指示的是泛函的增加方向。因此一阶变分的负值就是该泛函的梯度下降流。

       比如一个能量E(u)=∫f(x, u(x),▽u(x))dx关于u的一阶变分E'(u)的负值，即-E'(u)就是该能量泛函的梯度下降流，也就是说函数集u随着该方向行走，其对应的能量会逐步减少。例如u有其中一个函数u(i)对应能量E(i)，u(i+1)=u(i)+(-E'(u))△t表示-E'(u)的方向走了一个步长△t后沿着所对应的能量E(i+1)du/dt=[u(i+1)-u(i)]/△t=-E'(u)=-dE(u)/du，这个就是我们常见图像处理中的能量泛函下降流（流的意思就是从一个u(i)→u(i+1)的连续变化方向）。