HDU 6059 Kanade's trio Trie + 计数

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题意：给定一个序列a,求有多少个三元组（i，j，k） 满足1<=i<j<k<=n  且  a[i] xor a[j] < a[j] xor a[k]？

思路：

利用字典树维护前 k-1 个数。当前处理第 k 个数。

显然对于 k 与 i 的最高不相同位 kp 与 ip ：

当 ip=0 , kp=1 时，该最高不相同位之前的 ihigher=khigher 。则 jhigher 可以为任意数，均不对 i, k 更高位（指最高不相同位之前的高位，后同）的比较产生影响。而此时 jp 位必须为 0 才可保证不等式 (Ai⊕Aj)<(Aj⊕Ak) 成立。

当 ip=1,kp=0 时，jp 位必须为 1 ，更高位任意。

故利用数组 cnt[31][2] 统计每一位为 0 ，为 1 的有多少个。在字典树插入第 k 个数时，同时统计最高不相同位，即对于每次插入的 p 位为 num[p] (取值 0 或 1)，在同父节点对应的 1-num[p] 为根子树的所有节点均可作为 i 来寻找 j 以获取对答案的贡献。其中又仅要求 jp 与 ip (ip 值即 1-num[p]) 相同，故 jp 有 cnt[p][ 1-num[p] ] 种取值方案。

但是，同时需要注意 i 与 j 有在 A 数组的先后关系 (i<j) 需要保证。故在字典树中额外维护一个 ng 点，记录将每次新加入的点与多少原有点可构成 i, j 关系（注意不是j，i关系）。在后续计算贡献时去掉。

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总的思想就是将所有数转化为二进制插到字典树当中去，先枚举A[k]，在将A[k]插入的过程中动态的枚举A[k]和A[i]的最高不同位，然后利用字典树动态的计数，关键是ng的计数不好理解，需要画图体会体会。

代码：

#include<bits/stdc++.h>#define ll long long#define pb push_back#define fi first#define se second#define pi acos(-1)#define inf 0x3f3f3f3f#define lson l,mid,rt<<1#define rson mid+1,r,rt<<1|1#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)#define per(i,n,x) for(int i=n;i>=x;i--)using namespace std;typedef pair<int,int>P;const int MAXN = 500010;int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}ll ans;struct node{int son[2];int cnt, ng;}Trie[MAXN * 32];int cnt[32][2];int dig[32], sz;void calc(int id, int sum){ans += 1ll * Trie[id].cnt * (Trie[id].cnt - 1) / 2; // 计算a[i]高位和a[j]高位相同的所有可能组合（i<j） ans += 1ll * Trie[id].cnt * (sum - Trie[id].cnt);// 计算a[i]高位和[j]高位不同的所有可能组合(i有可能大于j)ans -= Trie[id].ng;// 去掉i>j的情况 }void insert(){int tmp = 0;for(int i = 0; i < 30; i++){if(!Trie[tmp].son[dig[i]])Trie[tmp].son[dig[i]] = ++sz;if(Trie[tmp].son[dig[i] ^ 1])calc(Trie[tmp].son[dig[i] ^ 1], cnt[i][dig[i] ^ 1]);tmp = Trie[tmp].son[dig[i]];Trie[tmp].cnt++;Trie[tmp].ng += cnt[i][dig[i]] - Trie[tmp].cnt;}}int main(){int T, n, t;cin >> T;while(T--){ans = 0;sz = 0;memset(cnt, 0, sizeof(cnt));scanf("%d", &n);memset(Trie, 0, n * 32 * sizeof(node));//只将可能用到的部分初始化就好了，否则时间增加的飞起 for(int i = 0; i < n; i++){scanf("%d", &t);for(int i = 29; i >= 0; i--){cnt[i][t & 1]++;dig[i] = t & 1;t >>= 1;}insert();}cout << ans << endl;} return 0;}