HDU6061 RXD and functions

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题意

​ 已知 f(x)=∑ni=0cixi ，给定一个长度为 m 的数列 A ，求 f(x−∑mi=1ai) 的所有系数模998244353的结果。

分析

​ 赛时纠结其它题去了，没有认真推=-=。（虽然推出来了，当时也没有NTT的板子的说）

​ 以下均用 a 代替 ∑mi=1ai

​ 将所有的 (x−a)i 均拆开，并将对应 xi 的系数划分到一块，得到

​

f(x−a)=∑i=0nxi(∑j=incjCijaj−i)

​ 再将组合数部分拆开得到

​

∑i=0nxi(∑j=incjj!(j−i)!i!aj−i)

​ 为了便于计算，将 j 用 j+i 进行替换，得到

​

∑i=0nxi(∑j=0n−icj+i(j+i)!j!i!aj)

​ 将内层求和中无关的变量i的部分提出，并进行简单的划分得到

​

∑i=0nxii!(∑j=0n−i(cj+i(j+i)!)(ajj!))

​ 向卷积式凑一下，令 k=n−i−j ，再进行一次替换得到

​

∑i=0nxii!(∑j+k=n−i(cn−k(n−k)!)(ajj!))

​ 将 cn−k(n−k)! 在n长度进行一个翻转就能将式子转换成卷积式，再就是套一下NTT即可，具体可以看代码。

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;#define Mp(x,y) make_pair(x,y)#define LL long long#define MAXN 100100const int inf = 0x3fffffff;const int mmax  = 1<<18;const int mod = 998244353;const int g = 3;  //原根LL quick_mod(LL a,LL b){    LL ans=1;      for(;b;b/=2){        if(b&1)              ans=ans*a%mod;          a=a*a%mod;      }      return ans;  }  int rev(int x,int r)  //蝴蝶操作  {      int ans=0;      for(int i=0; i<r; i++){        if(x&(1<<i)){            ans+=1<<(r-i-1);          }      }      return ans;  }  void NTT(int n,LL A[],int on) // 长度为N (2的次数)   {      int r=0;      for(;; r++){        if((1<<r)==n)              break;      }      for(int i=0; i<n; i++){        int tmp=rev(i,r);        if(i<tmp)              swap(A[i],A[tmp]);      }      for(int s=1; s<=r; s++){        int m=1<<s;          LL wn=quick_mod(g,(mod-1)/m);        for(int k=0; k<n; k+=m){            LL  w=1;            for(int j=0; j<m/2; j++){                LL t,u;                  t=w*(A[k+j+m/2]%mod)%mod;                  u=A[k+j]%mod;                  A[k+j]=(u+t)%mod;                  A[k+j+m/2]=((u-t)%mod+mod)%mod;                  w=w*wn%mod;              }          }      }      if(on==-1){        for(int i=1;i<n/2;i++)              swap(A[i],A[n-i]);          LL inv=quick_mod(n,mod-2);          for(int i=0;i<n;i++)              A[i]=A[i]%mod*inv%mod;      }  }  LL A[mmax+10],B[mmax+10];  LL ans[mmax+10];int c[MAXN];LL fac[MAXN];LL ni[MAXN];void init(){    fac[0]=ni[0]=1;    for(int i=1;i<MAXN;++i)        fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;    ni[MAXN-1]=quick_mod(fac[MAXN-1],mod-2);    for(int i=MAXN-2;i;i--)        ni[i]=(ni[i+1]*(i+1))%mod;}int main(){    int n,m,tmp;    init();    while(~scanf("%d",&n)){        LL a=0;        for(int i=0;i<=n;++i)            scanf("%d",&c[i]);        scanf("%d",&m);        for(int i=0;i<m;++i){            scanf("%d",&tmp);            a-=tmp;            if(a<0)                a+=mod;        }        if(a==0){            for(int i=0;i<=n;++i)                printf("%d ",c[i]);            cout<<endl;            continue;        }        B[0]=1;        LL aa=1;        int l=1;        while(l<=2*n)            l<<=1;        for(int i=0;i<l;++i){            if(i<=n){                A[i]=(fac[n-i]*c[n-i])%mod;                B[i]=(aa*ni[i])%mod;            }            else                A[i]=B[i]=0;            aa=(aa*a)%mod;        }        NTT(l,A,1);        NTT(l,B,1);        for(int i=0; i<l; i++)            A[i]=A[i]*B[i]%mod;          NTT(l,A,-1);        for(int i=0;i<=n;++i)            printf("%I64d ",(A[n-i]*ni[i])%mod);        cout<<endl;    }}