刚体变换

向量叉乘（Cross Product）

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刚体变换（Rigid Transformation）

 刚体变换 变换前后两点间的距离依旧保持不变则被称为刚体变换（Rigid Transform）。 刚体变换可分解为平移变换、旋转变换和反转（镜像）变换。

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（1）让g（x）是三维向量空间到三维空间的一个映射函数。如果该函数满足下列性质，则被称为刚体变换（Rigid Transformation）:

（2）刚体变化能够通过下式表示：

在该式中，矩阵，R，被称为旋转矩阵（Rotation Matrix），并且满足下列特殊性质：

（3）拥有下述性质的矩阵，连同矩阵乘法运算，构成一个组（Group）：SO(3)

上式是一个旋转矩阵。

性质：

组（Group）

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组（Group）是一种代数结构，由一个集合，G，和一组组上的操作组成，满足下列公理：

（1）封闭性（Closure）:

                                          

（2）结合性（Associativity）:

                                          

（3）同一性和可逆性（Identity and Inverse）:

                                          

                                          

罗德里格斯公式（Rodrigues Formula）

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表示物体的旋转有三种方式：转轴和转角，旋转矩阵，四元素。

罗德里格斯公式用来将转轴转角表示方式转换成旋转矩阵表示方式：

其中theta是转角，omega是转轴的单位向量。

四元素（Quaternion）

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四元素可以被看做是由一个标量和一个矢量构成：

                                           

四元素乘法计算如下：

                                         

单位四元素是四个分量平方和为一的四元素，对于转轴和转角表示方式也可以用单位四元素方式表示：

                                          

同样也可以从四元素得到旋转矩阵：

                                          

四元数共轭（Quaternion Conjugate）

                                           

值得注意的是：

（1）如果一个四元素对应一个旋转矩阵，则该四元素的共轭对应于同一旋转矩阵的转置；

（2）四元素乘法与对应旋转矩阵乘法的等价性：