斐波那契数列及其变形问题（跳台阶，变态跳台阶，矩形覆盖）

题目描述

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项。

n<=39

class Solution {public:    int Fibonacci(int n) {        int preNum = 1;        int prePreNum = 0;        int result = 0;        if(n<=1)            return n;        for(int i = 1; i < n; i++){            result = preNum + prePreNum;            prePreNum = preNum;            preNum = result;        }        return result;    }};

此题最好用循环，不要用递归。

如果测试用例里有一个很大的n，则可能会发生溢出。

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

本题比较倾向于找规律的解法，f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 5，  可以总结出f(n) = f(n-1) + f(n-2)的规律，典型的斐波那契数列，但是为什么会出现这样的规律呢？假设现在6个台阶，我们可以从第5跳一步到6，这样的话有多少种方案跳到5就有多少种方案跳到6，另外我们也可以从4跳两步跳到6，跳到4有多少种方案的话，就有多少种方案跳到6，其他的不能从3跳到6了，所以最后就是f(6) = f(5) + f(4)；这样子也很好理解跳台阶的问题了。

class Solution {public:    int jumpFloor(int number) {        if (number == 0 || number == 1 || number == 2)            return number;        int jumpSum = 0;        int jumpTwo = 1; //往前算两个台阶的跳法        int jumpOne = 2;//往前算一个台阶的跳法        for(int i = 3; i<=number; i++){            jumpSum = jumpOne + jumpTwo;             jumpTwo = jumpOne;            jumpOne = jumpSum;        }        return jumpSum;    }};

跳台阶问题升级版本：

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路：因为n级台阶，第一步有n种跳法：跳1级、跳2级、到跳n级
跳1级，剩下n-1级，则剩下跳法是f(n-1)
跳2级，剩下n-2级，则剩下跳法是f(n-2)
所以f(n)=f(n-1)+f(n-2)+...+f(1)
因为f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+...+f(1)
所以f(n)=2*f(n-1)

class Solution {public:    int jumpFloorII(int number) {        int a = 1;        return a << number - 1; //左移一位表示乘以2，2^number-1    }};

题目描述

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

思路分析：

用归纳法归纳如下：

（1）当 n < 1时，显然不需要用2*1块覆盖，按照题目提示应该返回 0。

（2）当 n = 1时，只存在一种情况。

（3）当 n = 2时，存在两种情况。

（4）当 n = 3时，明显感觉到如果没有章法，思维难度比之前提升挺多的。

... 尝试归纳，本质上 n 覆盖方法种类都是对 n - 1 时的扩展。

可以明确，n 时必定有 n-1时原来方式与2*1的方块结合。也就是说, f(n) = f(n-1) + ?(暂时无法判断)。

（4）如果我们现在归纳 n = 4，应该是什么形式？

4.1）保持原来n = 3时内容，并扩展一个 2*1 方块，形式分别为 “| | | |”、“= | |”、“| = |”

4.2）新增加的2*1 方块与临近的2*1方块组成 2*2结构，然后可以变形成 “=”。于是 n = 4在原来n = 3基础上增加了"| | ="、“= =”。

再自己看看这多出来的两种形式，是不是只比n = 2多了“=”。其实这就是关键点所在...因为，只要2*1或1*2有相同的两个时，就会组成2*2形式，于是就又可以变形了。

所以，自然而然可以得出规律： f(n) = f(n-1) + f(n-2)， (n > 2)。

如果看了这一套理论还存在疑惑。可以尝试将题目改成1*3方块覆盖3*n、1*4方块覆盖4*n。

相应的结论应该是：

（1）1 * 3方块 覆 盖3*n区域：f(n) = f(n-1) + f(n - 3)， (n > 3)

（2） 1 *4 方块 覆 盖4*n区域：f(n) = f(n-1) + f(n - 4)，(n > 4)

更一般的结论，如果用1*m的方块覆盖m*n区域，递推关系式为f(n) = f(n-1) + f(n-m)，(n > m)。

（分析引自牛客网：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/72a5a919508a4251859fb2cfb987a0e6）

程序思路：同以上斐波那契数列一样，直接递归计算，会报时间不够的问题，所以用循环结算，节省时间。

class Solution {public:    int rectCover(int number) {        if(number < 1)            return 0;        else if(number ==1 or number == 2){            return number;        }        else{            int result=0;            int first = 1;            int second = 2;            for(int i = 3; i <= number; i++){                result =first + second;                first = second;                second = result;            }            return result;        }    }};