背包问题(dp初步）

问题一：0-1背包问题

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

如下表，利用动态规划思想从左到右，从上到下生成所有状态：

代码实现：

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int N=5;//物品数目const int V=10;//背包容量int main(){    int weight[10]={-1,2,2,6,5,4};    int value[10]={-1,6,3,5,4,6};    int f[10][15]={0};    for(int i=1;i<=N;i++)    {        for(int j=0;j<=V;j++)        {            if(weight[i]<=j)                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);            else                f[i][j]=f[i-1][j];        }     }    cout<<f[N][V]<<endl;    return 0;}

进一步思考，代码可以优化如下：

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int N=5;//物品数目const int V=10;//背包容量int main(){    int weight[10]={-1,2,2,6,5,4};    int value[10]={-1,6,3,5,4,6};    int f[15]={0};    for(int i=1;i<=N;i++)    {        for(int j=V;j>=0;j--)        {            if(weight[i]<=j)                f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);        }    }    cout<<f[V]<<endl;    return 0;}

问题二：完全背包问题

完全背包问题：一个背包总容量为V，现在有N个物品，第i个 物品体积为weight[i]，价值为value[i]，每个物品都有无限多件，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大？

状态转移方程为：
f[i+1][j]=max(f[i][j-k*weight[i+1]]+k*value[i+1])，其中0<=k<=V/weight[i+1]

代码实现：

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int N=5;//物品数目const int V=10;//背包容量int main(){    int weight[10]={-1,2,2,6,5,4};    int value[10]={-1,6,3,5,4,6};    int f[15]={0};    for(int i=1;i<=N;i++)    {        for(int j=1;j<=V;j++)        {            if(weight[i]<=j)                f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);        }    }    cout<<f[V]<<endl;    return 0;}

问题三：多重背包问题

有一个容量为V的背包和N件物品，第i件物品最多有Num[i]件，每件物品的重量是weight[i]，收益是value[i]。在不超过背包容量的情况下，最多能获得多少价值或收益

多重背包二进制拆分实现：

跟完全背包一样的道理，利用二进制的思想将n[i]件物品i拆分成若干件物品，目的是在0-n[i]中的任何数字都能用这若干件物品代换，另外，超过n[i]件的策略是不允许的。方法是将物品i分成若干件，其中每一件物品都有一个系数，这件物品的费用和价值都是原来的费用和价值乘以这个系数，使得这些系数分别为1,2,4,…,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，n[i]=13，就将该物品拆成系数为1、2、4、6的四件物品。分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示。

状态转移方程：
dp[i][v]=max{ dp[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i] }, 0<=k<=num[i]

代码实现：

#include<iostream>using namespace std;const int N=3;const int V=8;int weight[N+1]={-1,1,2,2};int value[N+1]={-1,6,10,20};int num[N+1]={-1,10,5,2};int f[V+1]={0};void _01pack(int _weight,int _value){    for(int v=V;v>=_weight;v--)        f[v]=max(f[v],f[v-_weight]+_value);}void completepack(int _weight,int _value){    for(int v=_weight;v<=V;v++)        f[v]=max(f[v],f[v-_weight]+_value);}int multipack(){    int k=1;    int coun=0;    for(int i=1;i<=N;i++)    {        if(weight[i]*num[i]>=V)            completepack(weight[i],value[i]);        else        {            k=1;            coun=num[i];            while(k<=coun)            {                _01pack(k*weight[i],k*value[i]);                coun-=k;                k*=2;            }            _01pack(coun*weight[i],coun*value[i]);        }    }    return f[V];}int main(){    cout<<multipack()<<endl;    return 0;}