最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法

转自：http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

 

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

 

执行动画过程如下图                                                                                                                            

3 代码：

const int  MAXINT = 32767;const int MAXNUM = 10;int dist[MAXNUM];int prev[MAXNUM];int A[MAXUNM][MAXNUM];void Dijkstra(int v0){  　　bool S[MAXNUM];                                  // 判断是否已存入该点到S集合中      int n=MAXNUM;  　　for(int i=1; i<=n; ++i) 　　 {      　　dist[i] = A[v0][i];      　　S[i] = false;                                // 初始都未用过该点      　　if(dist[i] == MAXINT)                　　prev[i] = -1; 　　     else             　　prev[i] = v0;   　　}   　 dist[v0] = 0;   　 S[v0] = true; 　　 　　 for(int i=2; i<=n; i++) 　　 {       　　int mindist = MAXINT;       　　int u = v0; 　　                            // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值      　　 for(int j=1; j<=n; ++j)      　　    if((!S[j]) && dist[j]<mindist)      　　    {         　　       u = j;                             // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码          　 　      mindist = dist[j];       　　   }       　　S[u] = true;        　　for(int j=1; j<=n; j++)       　　    if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)       　　    {           　    　if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径             　    　{                   　　dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist                    　　prev[j] = u;                    //记录前驱顶点             　　    }        　    　}   　　}}

另一个实例，给出n个点，以及他们坐标，再给出一个m，表示m对之间有关系，接下来m行输入，求最短路径，给出起点到终点，求最短路径。

代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cmath>#include <cstring>#include <iomanip>using namespace std;int a[101][3];double c[101];bool b[101];double f[101][101];int n,i,j,k,m,x,y,s,e;double minl;double maxx=1e30;int main(){    cin>>n;    for(i=1;i<=n;i++)cin>>a[i][1]>>a[i][2];    for(i=1;i<=n;i++)        for(j=1;j<=n;j++)        f[i][j]=maxx;//f数组初始化为最大值        cin>>m;        for(i=1;i<=m;i++)//预处理xy间距离f[x][y]        {            cin>>x>>y;            f[x][y]=f[y][x]=sqrt(pow(double(a[x][1]-a[y][1]),2)+pow(double(a[x][2]-a[y][2]),2));        }        cin>>s>>e;        for(i=1;i<=n;i++)c[i]=f[s][i];        memset(b,0,sizeof(b));//dijkstra最短路        b[s]=1;        c[s]=0;        for(i=1;i<=n-1;i++)//查找可以更新的点        {            minl=maxx;k=0;            for(j=1;j<=n;j++)            if(!b[j]&&c[j]<minl){minl=c[j],k=j;}            if(k==0)break;            b[k]=1;            for(j=1;j<=n;j++)                if(c[j]>c[k]+f[k][j])c[j]=c[k]+f[k][j];        }        cout<<fixed<<setprecision(2)<<c[e]<<endl;        return 0;}

              

4.算法实例

先给出一个无向图                                                                                         

用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下                                                                            

Floyd算法

1.定义概览

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N³)，空间复杂度为O(N²)。

 

2.算法描述

1)算法思想原理：

     Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

      从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

3).Floyd算法过程矩阵的计算----十字交叉法

方法：两条线，从左上角开始计算一直到右下角 如下所示

给出矩阵，其中矩阵A是邻接矩阵，而矩阵Path记录u,v两点之间最短路径所必须经过的点

相应计算方法如下：

最后A₃即为所求结果

 

3.算法代码实现

                 

typedef struct          {            char vertex[VertexNum];                                //顶点表             int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表             int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数         }MGraph; void Floyd(MGraph g){ 　　int A[MAXV][MAXV]; 　　int path[MAXV][MAXV]; 　　int i,j,k,n=g.n; 　　for(i=0;i<n;i++)    　　for(j=0;j<n;j++)    　　{ 　　             A[i][j]=g.edges[i][j];         　　 path[i][j]=-1;     　 } 　　for(k=0;k<n;k++) 　　{       　　for(i=0;i<n;i++)         　　for(j=0;j<n;j++)             　　if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))             　　{                   　　A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];                   　　path[i][j]=k;              　 }     　} }

算法时间复杂度:O(n³)

3 Bellman-Ford算法（复杂度：NE） 注意，不能有负权回路，否则无限循环，到达无穷小。

代码：

#include <cstdio>#include <iostream>#include <stdio.h>#include <cmath>using namespace std;int main(){    double a[103][3],dis[1001],w[1001];    int n,m,x,y,f[1001][3],s,t,i,j;    cin>>n;    for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&a[i][1],&a[i][2]);    scanf("%d",&m);    for(i=1;i<=m;i++){        dis[i]=0x7f;        f[i][1]=f[i][2]=0x7f;    }    for(i=1;i<=n;i++){        scanf("%d%d",&x,&y);        f[i][1]=x,f[i][2]=y;        w[i]=sqrt(pow(a[x][1]-a[y][1],2)+pow(a[x][2]-a[y][2],2));    }    cin>>s>>t;    dis[s]=0;    for(i=1;i<=n;i++)        for(j=1;j<=m;j++)    {        if(dis[f[j][1]]+w[j]<dis[f[j][2]])dis[f[j][2]]=dis[f[j][1]]+w[j];        if(dis[f[j][2]]+w[j]<dis[f[j][1]])dis[f[j][1]]=dis[f[j][2]]+w[j];    }    printf("%.2f",dis[t]);}

4 SPFA算法

代码示例：

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <cstring>using namespace std;int n,p,c,i,j,x,y,t,minl,head,tail,tot,u;int a[801][801],b[501],dis[801],num[801],w[801][801],team[1601];bool exist[801];int main(){    cin>>n>>p>>c;    for(i=1;i<=p;i++){        b[i]=0;num[i]=0;        for(j=1;j<=p;j++)            w[i][j]=0x7f;//距离    }    for(i=1;i<=n;i++)cin>>b[i];//牛所在的牧场号    for(i=1;i<=c;i++){                      //邻接矩阵存储        cin>>x>>y>>t;        w[x][y]=w[y][x]=t;        a[x][++num[x]]=y,a[y][++num[y]]=x;    }        minl=0x7f;        for(i=1;i<=p;i++){            for(j=1;j<=p;j++)dis[j]=0x7f;            memset(team,0,sizeof(team));//队列数组初始化            memset(exist,0,sizeof(exist));//exist标志初始化            dis[i]=0;team[1]=i;head=0;tail=1;exist[i]=1;//起始点入队            do{                head++;                head=((head-1)%1601)+1;//循环队列的处理                u=team[head];                exist[u]=0;                for(j=1;j<=num[u];j++){                    if(dis[a[u][j]]>dis[u]+w[u][a[u][j]]){                        dis[a[u][j]]=dis[u]+w[u][a[u][j]];                        if(!exist[a[u][j]]){tail++;tail=((tail-1)%1601)+1;team[tail]=a[u][j];exist[a[u][j]]=1;}                    }                }            }while(head!=tail);            tot=0;            for(j=1;j<=n;j++)tot+=dis[b[j]];            if(tot<minl)minl=tot;            }            cout<<minl<<endl;            return 0;}