287. Find the Duplicate Number [Leetcode]

这题首先想到的最简单的方法是用快排然后再遍历。

然而题目要求不能改变原来的数组顺序。

所以快排的方法被排除。

后来想到了用binary search来做。

方法一：Binary Search

由于数字的范围是确定的[1,n]

取数字mid，如果【1，mid)没有重复的数字的话，这区间的数字个数应该<= mid - 1，反之则 > mid - 1, 如果在（mid，n] 之间没有重复数字的话，该区间的数字个数应该<= n - mid - 1，反之则 > （mid，n]. 若两个区间内的数字均未超量，则说明mid就是重复的数字。

该方法时间复杂度为O(NlogN)

代码如下：

class Solution {public:    int findDuplicate(vector<int>& nums) {        int left = 1, right = nums.size() - 1;        while (left < right) {            int mid = (left + right) / 2;            int smaller = 0, bigger = 0;            for (auto i : nums) {                if (i < mid) smaller++;                if (i > mid) bigger++;            }            if (smaller <= mid - 1 && bigger <= nums.size() - 1 -mid) return mid;            else if (smaller > mid - 1) right = mid - 1;            else left = mid + 1;        }        return (left + right) / 2;    }};

方法二：Floyd Cycle Detection

看评论区大神用的方法，很妙，不过一开始真的挺难理解的，因为没做过 Linked List Cycle II 这道题，只有弄明白了Linked List Cycle II ，才有办法理解。

这种方法是把每个数字的值看作是指向的下一个数字的下标。由于数字范围在【1，n】，数组下标范围在【0，n】，所以不用担心访问时的下标越界问题。

如数组【1,4,2,3,3】

对一个下标：【0,1,2,3,4】

比如，从第一个数字1出发，它指向的是位置为1的数字4，数字4指向位置为4的数字3....... 这样下去，我们可以构成一个带回路的数字链。

why？为什么一定会出现回路？

我是这样推理的：

由于指向的数组下标为【1，n】，对于任何一个数字，永远存在下一个指向的数字。无论从任何一个数字开始出发的数字链都不存在一个所谓的“终点”，可想而知，一定会有环的存在。

明白了这点后，问题就变成了求链中回路的起点。

如何求回路的起点？

在这里，我们设置两个pointer， 一个为fast，一次走两步，一个为slow，一次走一步。

假设两个pointer在回路地点开始后的第K个节点相遇。回路的长度为Y，链的起点到回路的起点距离为X。

我们可以得出以下公式：

对于 pointer slow: t = X+nY+K

对于 pointer fast: 2t = X+mY+K (m,n is unknown)

From above equation, we could get:

2X + 2nY + 2K = X + mY + K

=>   X+K  =  (m-2n)Y 

因此当他们第一次相遇后，只要将fast指针再放到链条起点处，然后两指针同时一步步移动，当他们再次相遇时，一定就是在回路的起点处。

该方法时间复杂度为 O（N）

以下是leetcode上通过的代码：

class Solution {public:    int findDuplicate(vector<int>& nums) {        int fast = nums[nums[0]], slow = nums[0];        while (fast != slow){            fast = nums[nums[fast]];            slow = nums[slow];        }        fast = 0;        while (fast != slow){            fast = nums[fast];            slow = nums[slow];        }        return fast;    }};

方法二：位操作

想出这个办法的人也是非常厉害了。

时间复杂度为O(32N)

设一个长度为32的循环，第i次循环里：

设变量a，为[1,2,3,...N]数字集在第i为（二进制）的和， b为nums数字集在第i位的和。若 b > a，则说明重复的数字在该位上为1.

代码下：

class Solution {public:    int findDuplicate(vector<int>& nums) {        int res = 0;        for (int i = 0; i < 31; i++) {            int bit = 1 << i;            int a = 0, b = 0;            for (int j = 0; j < nums.size(); j++) {                if (j > 0) a += j & bit;                b += nums[j] & bit;            }            if (b > a) res += bit;         }        return res;    }};