最基础的Dijkstra的应用
来源:互联网 发布:余姚数控编程培训 编辑:程序博客网 时间:2024/06/07 15:38
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Dijkstra算法
1.定义概览
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述:在无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。(单源最短路径)
2.算法描述
1)算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2)算法步骤:
a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。
c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
执行动画过程如下图
3.算法代码实现:
#define inf 0x3f3f3f3f//表示一个无限大的值bool check[maxsize];//标记图中的每个点是否已经得到最短路径int dis[maxsize];//表示出发点到每个点的当前最短路径的值void dij(){ memset(check,false,sizeof(check)); check[s]=true;//将初始点标记 for(int i=0;i<n;i++) { if(i==s) dis[i]=0; else dis[i]=map[s][i]; } for(int i=1;i<n;i++)//将剩余的n-1个点加入即可 { int temp=inf; int pos; for(int j=0;j<n;j++) { if(!check[j]&&dis[j]<temp) { pos=j; temp=dis[j]; } }//找到有最小的dis的那个点 if(temp==inf) break;//表示没法走下去,直接退出 check[pos]=true;//将找到的点标记 for(int j=0;j<n;j++) { if(!check[j]&&dis[pos]+map[pos][j]<dis[j]) dis[j]=dis[pos]+map[pos][j]; }//进行松弛操作 }}
4.算法实例
先给出一个无向图
用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
最后附上一道基础的应用dis解决的题目:
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畅通工程续
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Problem Description
Input
Output
Sample Input
3 30 1 10 2 31 2 10 23 10 1 11 2
Sample Output
2-1
Author
Source
AC代码:
#include<iostream>#include<string.h>#define inf 0x3f3f3f3fusing namespace std;int n,m;int a,b,x;int s,t;int map[201][201];int dis[201];bool check[201];void dij(){ memset(check,false,sizeof(check)); check[s]=true; for(int i=0;i<n;i++) { if(i==s) dis[i]=0; else dis[i]=map[s][i]; } for(int i=1;i<n;i++) { int temp=inf; int pos; for(int j=0;j<n;j++) { if(!check[j]&&dis[j]<temp) { pos=j; temp=dis[j]; } } if(temp==inf) break; check[pos]=true; for(int j=0;j<n;j++) { if(!check[j]&&dis[pos]+map[pos][j]<dis[j]) dis[j]=dis[pos]+map[pos][j]; } }}int main(){ while(cin>>n>>m) { memset(map,inf,sizeof(map)); for(int i=1;i<=m;i++) { cin>>a>>b>>x; if(map[a][b]>x) map[a][b]=map[b][a]=x; } cin>>s>>t; dij(); if(dis[t]==inf) cout<<-1<<endl; else cout<<dis[t]<<endl; } return 0;}
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