[物理] 硬币在薄纸边缘保持平衡问题

硬币在薄纸边缘保持平衡问题

一.问题的提出

　　总所周知，要使一枚硬币在一张不折叠薄纸边缘保持平衡是非常困难的。但是如果你将纸先折叠起来，将硬币放在边缘上架稳，然后将纸缓缓展开，直至恢复原状。你会发现，硬币竟然在那约为80μm的边缘上保持了平衡！这是为什么呢？这就是我们今天所研究的问题了。

二.问题的简化

　　1.转化
　　让我们先研究一下能被抽象为一条线段的物体－－笔
　　先让我们试一试，怎么直接并快速找到一支笔的重心？
　　不容易吧，但是你可以这样做：
　　将两个手指架在笔下，缓缓靠近，直至靠拢，这是你会发现，笔的重心就在你的手指上。没错，就是这么神奇，但是它和我们今天研究的问题有什么关系？接着往下看吧！
　　
　　
　　
　　2.建模

　　设笔重心为O，重力为G。A，B为手指，手指对笔的支持力分别为FNA,FNB，力臂分别为x1,x1，手指受到的摩擦力分别为fA,fB。
　　3.定量分析
　　特别的，我们规定
　　　　　　　　　　　f静max>f滑动　　　μA=μB
　　由缓缓移动得－－物体始终处于平衡状态，即
　　　　　　　　　　　　　　　　fa=fb　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①
　　由杠杆定理　FA∗x1=FB∗x2　得：
　　　　　　　　　　　　　　　　FNA∗x1=FNB∗x2　　　　　　　　　　　 ②
　　不妨设　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　x1>x2　　　　　　　　　　　　　　　　　　③
　　由①②得：
　　　　　　　　　　　　　　　　FNA<FNB　　　　　　　　　　　　　　　　④
　　由④和公式　F=μFN1　得
　　　　　　　　　　　　　　　　fAmax<fBmax　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤
　　由于A,B必有一点移动，又由①⑤得－－最大摩擦小的点会开始移动，所以A点将向重心移动，x1不断减小，直至：
　　　　　　　　　　　　　　　　fNA∗μ=fBmax　　　　　　　　　　　　　 　⑥
　　由⑥和前提条件反推得：
　　　　　　　　　　　　　　　　fNA∗μ=fBmax>fNB∗μ　即　fNA>fNB　⑦
　　由⑦和杠杆定理　FA∗x1=FB∗x2　可得:
　　　　　　　　　　　　　　　　x1<x2
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　那么，我们由假设　x1>x2　得到了试验后结果　x1<x2　这说明A,B两点不断交替着向重心O运动，直至　x1=x2=0　也就是A,B,O三点重合，那么，重心O就这样被我们找到了！

三.问题的解决

　　现在让我们回到硬币的问题上来。既然硬币要在折叠的纸边缘上平衡，那么硬币的重心必然在纸折叠所形成的一个角的范围内。那么随着纸的不断展开，对于在同一条直线上的边缘来说，它们有运动到圆的重心上的趋势，等到纸完全复原时，对于纸边缘上的每一个点应该都是在不断地靠近硬币重心的趋势中最终位于硬币的同一条直径上，那么重心也在这极薄的边缘上，自然就能够使硬币在纸的边缘上平衡啦！

四.问题的拓展

　　既然我们已经知道了硬币这样质量均匀形状规则的物体的性质，那么对于一个质量分布不均匀，形状不规则的物体，仍然还有这样的性质么？那么表面粗糙程度不相等的物体又是什么情况呢？还有一些什么其他神奇的性质呢？这些问题都有待你自己去探索，解答。希望你能在追寻真理的过程中也找到真正的自己！
　　未完待续…

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　From:Chlience

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1. 摩擦力公式，高一物理必修一 P58　摩擦力. ↩