二叉搜索树

最近在学习浙江大学的数据结构，整理如下

二叉搜索树(BST, Binary Search Tree)也称二叉排序树或二叉查找树

静态查找

一般是对于动态查找

二叉搜索树：一棵二叉树，可以为空，如果不为空，满足以下性质

1.非空左子树的所有键值小于其根节点键值

2.非空右子树的所有键值大于其根结点键值

3.左右子树都是二叉搜索树

树的实现

typedef int ElementType;typedef struct TreeNode *BinTree;typedef BinTree Position;struct TreeNode{    ElementType Data;    BinTree Left;    BinTree Right;};

二叉搜索树的操作

1.Find

查找某一已知元素

Position Find(ElementType X,BinTree BST){if(!BST) return NULL;if(X>BST->Data)         return Find(X,BST->Right);else if(X<BST->Data)        return Find(X,BST->Left);else return BST;};

对于这种尾递归，可以改为循环实现

Position Find(ElementType X,BinTree BST){      while(BST)      {    if(X>BST->Data)              BST=BST->Right;    else if(X<BST->Data)               BST=BST->Left;    else return BST;      };      return NULL;};

查找该二叉树的最大最小值

BinTree FindMin(BinTree BST){if(!BST) return NULL;else if(!BST->Left) return BST; else  return FindMin(BST->Left);};

同样，该查找的循环实现

BinTree FindMax(BinTree BST){ if(BST)     while(BST->Right)BST=BST->Right;  return BST;};

2.Insert

元素的插入操作和元素的查找类似

BinTree Insert(ElementType X,BinTree BST){if(!BST) {    BST=malloc(sizeof(struct TreeNode));    if(!BST) exit(0);BST->Data=X;BST->Left=BST->Right=NULL;}else if(X<BST->Data) BST->Left=Insert(X,BST->Left);//对于元素接在节点域后面要通过递归返回地址实现else if(X>BST->Data) BST->Right=Insert(X,BST->Right); return BST;};

3.Delete

删除树的结点：

1.如果删除的是叶结点，将其父节点指向该节点指针置为NULL

2.如果删除的是只有一个子节点的节点，将该节点的父节点指针指向要删除节点的子节点

3.如果要删除的有两个自己节点，在该节点的左子树找到最大的元素（或者在右子树中找到最小的元素），将其替换掉该节点

BinTree Delete(ElementType X,BinTree BST){Position Temp;if(!BST); else if(X<BST->Data) BST->Left=Delete(X,BST->Left);//递归返回删除节点的子节点，接在父节点上else if(X<BST->Data) BST->Right=Delete(X,BST->Right); else if(BST->Left&&BST->Right)//左右子树都不空        {        Temp=FindMin(BST->Right);        BST->Data=Temp->Data;        BST->Right=Delete(BST->Data,BST->Right);}else        {    Temp=BST;    if(!BST->Left)BST=BST->Right;//左子树为空，将该指针指向其右子树    else if(!BST->Right)BST=BST->Left;//右子数为空，将该指针指向其左子树    free(Temp);}return BST;};

二 平衡二叉树

1.平衡二叉树

平衡因子(Balance Factor,简称BF)：BF(T)=|hL-hR|。其中hL和hR分别为T的左右子树高度。

平衡二叉树(Balance Binary Tree)(AVL树)：

    树可以为空，如果树不为空，则满足性质：任意节点的左右子树高度差不超过1

平衡二叉树的实现

typedef struct AVLNode *Position;typedef Position AVLTree; /* AVL树类型 */struct AVLNode{ ElementType Data;  AVLTree Left;  AVLTree Right; int Height; /* 树高 */};

平衡二叉树的高度：

    考虑高度为h的平衡二叉树最少需要的结点数： n(h)=n(h-1)+n(h-2)+1

    类比斐波那契数列可得树结点的递推公式:    n(h)=F(h+2)-1;

    则n个结点对应树的最小高度为logn阶

2.平衡二叉树的操作

插入

在平衡二叉树的插入新的元素时，以前小于1的平衡因子会被破坏，所以需要对平衡二叉树做相应的调整

RR旋转

当插入的元素在被破坏结点的右子树的右子树上，即RR插入，需要做RR旋转

代码实现如下：

AVLTree SingleRightRotation ( AVLTree A ){/*注意:A必须有一个右子结点B*/ /* 将A与B做右单旋,更新A与B的高度,返回新的根结点B*/ AVLTree B= A->Right; A->Right=B->Left; B->Left=A; A->Height=Max(GetHeight(A->Left),GetHeight(A->Right))+1; B->Height=Max(GetHeight(B->Left),A->Height)+1; return B;}

LL旋转

当插入的元素在被破坏节点的左子树的左子树上，即LL插入，需要做LL旋转

代码实现如下：

AVLTree SingleLeftRotation ( AVLTree A ){ /* 注意：A必须有一个左子结点B */  /* 将A与B做左单旋，更新A与B的高度，返回新的根结点B */          AVLTree B=A->Left;    A->Left=B->Right;    B->Right=A;    A->Height=Max(GetHeight(A->Left),GetHeight(A->Right))+1;    B->Height=Max(GetHeight(B->Left),A->Height)+1;    return B;}

LR旋转

当插入的元素在被破坏结点的左子树的右子树上，即LR插入，需要做LR旋转

实现如下：

AVLTree DoubleLeftRightRotation ( AVLTree A ){ /* 注意：A必须有一个左子结点B，且B必须有一个右子结点C*/  /*将A、B与C做两次单旋，返回新的根结点C*/  /*将B与C做右单旋，C被返回*/  A->Left=SingleRightRotation(A->Left);  /* 将A与C做左单旋，C被返回*/  return SingleLeftRotation(A);}

RL旋转

当插入的元素在被破坏结点的右子树的左子树上，即RL插入，需要做RL旋转

实现如下：

AVLTree DoubleRightLeftRotation ( AVLTree A ){ /*注意：A必须有一个右子结点B，且B必须有一个左子结点C*/  /*将A、B与C做两次单旋，返回新的根结点C*/  /*将B与C做左单旋，C被返回*/  A->Right=SingleLeftRotation(A->Rigth);  /* 将A与C做左单旋，C被返回*/  return SingleRightRotation(A);}

则插入操作的具体实现如下

AVLTree Insert( AVLTree T, ElementType X ){/*将X插入AVL树T中，并且返回调整后的AVL树*/  if(!T)  {/*若插入空树，则新建包含一个结点的树*/  T=(AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLNode));  T->Data=X;  T->Height=0;  T->Left=T->Right=NULL;  }  else if(X<T->Data)  {  /*插入T的左子树*/  T->Left=Insert(T->Left,X);  /*如果需要左旋*/  if(GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right)==2)  //判断平衡因子是否被破坏  if(X<T->Left->Data)  T=SingleLeftRotation(T);/*判断是否需要左单旋*/  else  T=DoubleLeftRightRotation(T);/*判断是否需要左-右双旋*/  }  else if(X>T->Data)  {  /*插入T的右子树*/  T->Right=Insert(T->Right,X);  /*如果需要右旋*/  if(GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right)==-2)  if(X>T->Right->Data)  T=SingleRightRotation(T);/*右单旋*/  else T=DoubleRightLeftRotation(T);/*右-左双旋*/  }/*else X==T->Data，无须插入*//*更新树高*/T->Height=Max(GetHeight(T->Left),GetHeight(T->Right))+1;return T;}