决策树相关知识小结

前言

本文是一篇关于决策树方面知识的小结，不包含具体的例子（想看例子推荐文献[1]的第4章），主要总结了ID3、C4.5和CART树三者的区别，剪枝处理，连续值和缺失值的处理。

决策树的基本算法

决策树的学习目的是为了产生一颗泛化能力强，即处理未见示例能力强的决策树，其基本流程遵循“分治”的策略，基本算法如下所示：

***********************输入********************训练集 D={(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym)}x中有 (col1,col2,...,colk) 共k组特征每个col下有相应的属性值(a1,a2,...,ap)y中有 (l1,l2,...,ln) 共n种类标签***********************过程********************if 数据集中的每个子项属于同一分类 then    return 类标签else    寻找划分数据集的最好特征*    划分数据集    创建分支结点    for 每个划分的子集        递归调用该函数并增加返回结果到分支结点中    end for    return 分支结点end if ***********************输出********************一颗决策树

其中，最为重要的是“寻找划分数据集的最好特征”这一步（我特意打上了*号），这也是不同算法的区别所在。

ID3、C4.5和CART的区别

ID3算法

在划分数据集的过程当中，我们希望决策树的分支结点所包含的样本尽可能地属于同一类别，即结点的纯度越来越高。
在ID3算法中，利用了信息增益这一准则来划分数据集，要了解信息增益，首先要知道信息熵的概念。信息熵是度量样本集合纯度最常用的一项指标。假设当前样本D的第k类样本所占的比例为pk(k=1,2,...,n),则，D的信息熵定义为

Ent(D)=−∑nk=1pk⋅log2pk
En(D)的值越小，D的纯度就越高。
假定特征col有V个可能的取值{a1,a2,...,aV}，若使用col来对样本集D划分，则会划分成V个子集，其中以av划分出来的子集，记为Dv，那么信息增益可以表示为
Gain(D,col)=Ent(D)−∑Vv=1|Dv||D|Ent(Dv)
其中，|D|表示数据集中的样本个数。
ID3就是使用信息增益最大为准则来划分数据集的，计算出每个col下的Gain(D,col)，然后选择值最大的那一个。
但这样的做法为偏袒于属性数量较多的特征，即V较大的col，为解决这个问题，就有了C4.5算法。

C4.5算法

与ID3算法不同，C4.5是利用增益率来进行划分的，其定义如下：

Gain_ratio(D,col)=Gain(D,col)IV(col)
其中
IV(col)=−∑Vv=1|Dv||D|log2DvD
IV(col)称为特征col的固有值，特征col的属性越多，IV(col)的值就越大。
这样一来就可以解决ID3的弊端，然而，值得注意的是，增益率准则对属性值数目较少的特征有所偏好，故C4.5并不是直接取增益率最大的特征来划分数据集的，而是采用了一种启发式的方法：先从数据集中找出信息增益高于平均水平的特征，然后从中选择增益率最高的。

CART算法

CART则采用了基尼指数来划分属性，数据集D的纯度可以用基尼值来度量：

Gini(D)=∑nk1=1∑nk1!=k2pk1pk2=1−∑nk=1p2k
基尼值反应了从数据集中随机抽取两个样本，其类标签不一致的概率，因此基尼值越小，数据集的纯度越高。
特征col的基尼指数定义为
Gini_index(D,col)=∑Vv=1|Dv|DGini(Dv)
CART就是选择划分后基尼指数最小的特征为最优划分特征的。

剪枝

剪枝是解决过拟合问题的重要手段，主要分为“预剪枝”和“后剪枝”两种。在剪枝的时候我们要引入验证集用来帮助我们判断是否需要剪枝。

预剪枝

预剪枝是边生成决策树边剪枝的一种做法。基于信息增益准则或者增益率准则或者基尼指数，我们会选出最优的特征来进行数据集的划分，这个时候预剪枝做的就是判断划分前后，验证集的精度是否会提高，如果提高的话就进行划分，否则不进行划分，也就是剪枝了。
预剪枝可以降低过拟合的风险，而且还显著减少了决策树的训练时间开销和测试时间开销。
不过，预剪枝是一种贪心的做法，有些划分可能在当前不能提高性能，但在之后的划分中可以显著提高决策树的性能，所以预剪枝有着欠拟合的风险。

后剪枝

后剪枝是先生成一颗完整的决策树，然后自底向上地进行剪枝，判断某个分支结点替换为叶子结点后是否会提高验证集的精度，可以提高则将分支结点替换为叶子结点，否则不替换。
后剪枝比预剪枝保留了更多的分支，欠拟合的风险很小，泛化性能也往往优于预剪枝。但后剪枝的训练时间开销要比预剪枝大得多。

连续值的处理

以上讨论的都是针对离散特征进行处理的，如果遇到了属性为连续值的特征，往往采用二分法进行处理。
给定样本集D和连续特征col，假定在col上出现了m个不同的取值，将这些值从小到大进行排序，即为{a1,a2,...,am}。基于划分点t可将D划分为子集D−t和D+t，其中D−t中包含了在特征col上取值小于t的样本，而D+t中包含了在特征col上取值不小于t的样本，t的取值属于集合

Ta={ai+ai+12|1≤i≤m−1}
之后可以基于不同的t值进行数据集划分，选择使得信息增益准则或者增益率准则最大，或者基尼指数最小的t作为划分点。

缺失值的处理

现实数据中往往会遇到不完成的样本，即样本的某些值有缺失，这时候如果放弃该样本不用则太过浪费，所以一般做如下处理。
给定训练集D和特征col，令D^表示在特征col上没有缺失值的样本子集。我们给每个样本x赋予一个权重wx，并定义

ρ=∑x∈D^wx∑x∈Dwx
不难看出，对于特征col，ρ表示无缺失值样本所占的比例。这样一来，比如信息增益就可以推广为
Gain(D,col)=ρ⋅Gain(D^,col)
其它的准则也可以用类似的方法进行转换。

结束语

以上是对决策树部分知识的小结。如有不足，还请指正~

参考文献

[1] 周志华. 机器学习 : = Machine learning[M]. 清华大学出版社, 2016.
[2] Peter Harrington. 机器学习实战[M]. 人民邮电出版社, 2013.