回溯法：应用举例--八皇后问题

回溯法：回溯法（探索与回溯法）是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，即返回上一级递归调用，这种走不通就退回再走的技术为回溯法。正是这个原因，递归枚举算法常被称为回溯法，应用十分普遍。八皇后问题是回溯法应用的一个典型问题。

问题描述：玩过国际象棋的人都知道，皇后可以在横、竖、斜线上不限步数地吃掉其他棋子。现如今给你一个8*8的棋盘，要求你放入8个皇后，使每个皇后不能直接攻击到其她皇后，输出有多少种方案。在这里，我们将问题泛化，输入任意的n，输出n*n的棋盘中放入n个皇后的方案数。

分析：用c[x]表示放置在第x行的皇后的列数，将问题转化为全排列生成问题，暴力枚举找出答案。在这里，我们在判断一个皇后放在某个位置是否合法时，可以直接循环扫描已经放好的皇后判断与之是否冲突（代码1），也可以设一个二维数组做标记来判断（代码2）。

注：如果在回溯法中使用了辅助的全局变量，一定要及时把他们恢复原状。特别的，如果函数有多个出口，则需要在每个出口初恢复被修改的值。（刘汝佳算法竞赛入门经典中原话，想了想确实如此，这个点是最容易忘记还不容易检查出来的地方，故拿出来提醒一下）

代码1：

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>using namespace std;const int maxn=105;int tot,n;int c[maxn];void search_queen(int cur){    if(cur==n) tot++; //d递归边界。只要走到这所有皇后必然不冲突    else {        for(int i=0;i<n;i++){            int ok=1;            c[cur]=i; //尝试把第cur行的杭后放到第i列            for(int j=0;j<cur;j++){ //检查是否与之前放好的皇后冲突，横向上肯定不会冲突，因此只需要检查纵向，斜向                if(c[cur]==c[j]||cur-c[cur]==j-c[j]||cur+c[cur]==j+c[j]){                     ok=0;                    break;                }            }            if(ok) search_queen(cur+1); //如果此位置合法，继续递归寻找下一个皇后的位置        }    }}int main () {    //freopen("in.txt", "r", stdin);    cin>>n;    search_queen(0);    cout<<tot<<endl;    return 0;}

代码二：

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>using namespace std;const int maxn=105;int tot,n;int c[maxn],vis[2][maxn];void search_queen(int cur){    if(cur==n) tot++;    else {        for(int i=0;i<n;i++){            if(!vis[0][i]&&!vis[1][i+cur]&&!vis[2][cur-i+n]) { //二维数组直接判断，顺序为：列，副对角线，主对角线                c[cur]=i;                vis[0][i]=vis[1][cur+i]=vis[2][cur-i+n]=1;//标记                search_queen(cur+1);                vis[0][i]=vis[1][cur+i]=vis[2][cur-i+n]=0;//递归完成后一定要修改回来            }        }    }}int main () {    //freopen("in.txt", "r", stdin);    cin>>n;    search_queen(0);    cout<<tot<<endl;    return 0;}